Question

Диагонали прямоугольника MNKL пересекаются в точке O. Найдите площадь треугольника OKL, если MK=24, a угол KOL=30 градусам.

Answer 1

Ответ:

ΔOKL – треугольник образованный из двух полудиагоналей, OK И OL, и одной стороны KL прямоугольника.

Формула площади треугольника:

$S = \frac{1}{2} ab \sin( \gamma )$, где a, b – стороны треугольника и θ – угол между этими сторонами.

Нам дана длина диагонали (у прямоугольника длины диагоналей равны) MK=24.

Диагонали прямоугольника пересекаются в центре, тогда OK=OL=24/2=12.

Угол <KOL – это и есть угол между диагоналями.

$S = \frac{1}{2} \times 12 \times 12 \times \sin( {30}^{ \circ} ) \\ S = \frac{1}{2} \times 12 \times 12 \times \frac{1}{2} \\ S = 6 \times 6 \\ S = 36$

Площадь треугольника ΔOKL=36

Answer 2

На рисунке видно, что треугольник OKL образован диагоналями прямоугольника MNKL. Мы знаем, что MK = 24 и угол KOL = 30 градусов.

Для решения задачи, мы должны найти длину стороны KL и вычислить площадь треугольника OKL.

Пришло время использовать тригонометрические соотношения. Мы знаем, что угол KOL = 30 градусов, поэтому: cos(KOL) = KL/KO.

Изобразим эту формулу по отношению к прямоугольнику:

______________ | X | | K O | | | ______________ M Где Х - точка пересечения диагоналей MN и KL.

Теперь будем рассматривать прямоугольный треугольник MOK. Мы знаем, что MK = 24 и угол KOM = 90 градусов.

Используя соотношение косинуса для прямоугольного треугольника, получаем: cos(KOM) = OK/MK

Также мы знаем, что угол KOL = 30 градусов, поэтому cos(KOL) = cos(30).

Подставим эти значения в нашу формулу: cos(30) = KL/MK

cos(30) = sqrt(3)/2 sqrt(3) = KL/MK

KL = MK * sqrt(3) KL = 24 * sqrt(3) KL = 24 * 1.732 KL ≈ 41.59

Теперь мы имеем длины сторон треугольника OKL: KL ≈ 41.59 и MK = 24.

Теперь можно вычислить площадь треугольника OKL, используя формулу для площади треугольника по длинам сторон и полупериметру:

s = √(p * (p - a) * (p - b) * (p - c))

где p - полупериметр, a, b, и c - длины сторон треугольника.

В нашем случае, треугольник OKL - не является прямоугольным, поэтому необходимо использовать общую формулу для площади треугольника.

Полупериметр p = (KL + MK + OK)/2 p = (41.59 + 24 + OK)/2

Также имеем: a = KL = 41.59 b = MK = 24 c = OK

Теперь подставим эти значения в формулу: s = √((41.59 + 24 + OK)/2 * ((41.59 + 24 + OK)/2 - 41.59) * ((41.59 + 24 + OK)/2 - 24) * ((41.59 + 24 + OK)/2 - OK))

Теперь мы должны найти значение OK, чтобы окончательно решить задачу.

Поскольку точка О - это точка пересечения диагоналей, диагональ ОК делит другую диагональ MN пополам. Следовательно, ОК = NK = MK/2 = 24/2 = 12.

Подставим это значение в нашу формулу: s = √((41.59 + 24 + 12)/2 * ((41.59 + 24 + 12)/2 - 41.59) * ((41.59 + 24 + 12)/2 - 24) * ((41.59 + 24 + 12)/2 - 12))

Теперь мы можем вычислить площадь треугольника OKL, подставив значения: s = √((77.59)/2 * ((77.59)/2 - 41.59) * ((77.59)/2 - 24) * ((77.59)/2 - 12))

Упрощая выражение:

s = √(77.59/2 * (77.59/2 - 41.59) * (77.59/2 - 24) * (77.59/2 - 12)) s = √(38.795 * 15 * 53.59 * 29.59) s = √(295637.079985) s ≈ 543.23

Таким образом, площадь треугольника OKL ≈ 543.23 квадратных единиц.