Question

Можно ли вписать шар в произвольную треугольную пирамиду? с рисунком и доказательством ​

Answer 1

Ответ:

в пирамиду можно вписать шар только в том случае, если её нормальное сечение есть квадрат; в условии задачи это требование не соблюдается из-за различия сторон a и b, поэтому вписать шар невозможно.

Answer 2

Да, можно вписать шар в произвольную треугольную пирамиду. Давайте рассмотрим это более подробно.

Пусть у нас есть треугольная пирамида ABCDE, где ABC - основание, а D и E - вершины пирамиды. Также предположим, что O - центр вписанного шара, который мы хотим вписать в эту пирамиду.

Для начала рассмотрим проекции вершин пирамиды на основание ABC. Обозначим проекции точек D и E как D' и E', соответственно.

Теперь, соединим точки D', E' и центр шара O, получившиеся отрезки будут проекциями боковых граней пирамиды на ее основание. Поскольку треугольник ABC - произвольный, эти отрезки также будут произвольными.

Теперь докажем, что O лежит на пересечении этих отрезков. Рассмотрим радиусы шара, проведенные к точкам D и E. Поскольку эти радиусы являются радиусами, они перпендикулярны соответствующим граням пирамиды. Поскольку точки D и E лежат на линиях проекций боковых граней, мы видим, что эти радиусы также лежат в плоскостях проекций. Таким образом, O лежит в пересечении линий проекций боковых граней и, следовательно, вписан в треугольную пирамиду.

К сожалению, здесь трудно предоставить рисунок, но вы можете визуализировать этот процесс воображением, представив треугольную пирамиду и вписанный шар в ней.