Question

діагональ правильної чотирикутної піраміди дорівнює 12 см і утворює з площиною основи кут 45 градусів визначте площу бічної поверхні призми

Answer 1

Діагональ правильної чотирикутної піраміди можна розділити на дві складові: одна складова - це відстань від вершини піраміди до центру основи, а інша - це відстань від центру основи до одного з вершин її квадратної основи. Оскільки піраміда є правильною, то ці дві складові є взаємно перпендикулярними.

За умовою задачі діагональ дорівнює 12 см, і кут між діагоналлю та площиною основи дорівнює 45 градусів. Тобто, ми маємо прямокутний трикутник з гіпотенузою 12 см і однією зі сторін, що утворюють прямий кут, дорівнює відстані від вершини до центру основи.

Ми можемо використовувати тригонометричні функції для обчислення цієї відстані. Враховуючи, що кут між діагоналлю і площиною основи дорівнює 45 градусів, ми можемо використовувати тригонометричний косинус:

cos(45°) = adjacent / hypotenuse,

де adjacent - це відстань від вершини піраміди до центру основи, а hypotenuse - діагональ піраміди.

Знаючи, що cos(45°) дорівнює 1/√2 (або приблизно 0.7071), ми можемо розв'язати рівняння:

0.7071 = adjacent / 12,

adjacent = 0.7071 * 12 ≈ 8.49 см.

Тепер ми знаємо відстань від вершини піраміди до центру основи, і ми можемо розглядати бічну поверхню піраміди як чотири прямокутні трикутники зі стороною, яка дорівнює 8.49 см (від вершини до центру основи) і стороною, яка дорівнює половині діагоналі основи піраміди.

Діагональ квадратної основи може бути обчислена за допомогою теореми Піфагора для прямокутного трикутника зі сторонами a (половина діагоналі основи), a (сторона квадратної основи) і c (гіпотенуза, яка є відстанню від центру основи до вершини піраміди):

c² = a² + a², c² = 2a², c = √(2a²), c = a√2.

Знаючи, що діагональ основи дорівнює a√2, ми можемо знайти a:

a√2 = 8.49 см, a = 8.49 см / √2 ≈ 6 см.

Тепер ми можемо обчислити площу кожного з чотирьох прямокутних трикутників бічної поверхні піраміди:

Площа одного прямокутного трикутника = (1/2) * a * 8.49 см ≈ (1/2) * 6 см * 8.49 см ≈ 25.47 см².

Оскільки у піраміди є чотири такі трикутники, то площа бічної поверхні піраміди дорівнює:

Площа бічної поверхні = 4 * 25.47 см² ≈ 101.88 см².

Отже, площа бічної поверхні правильної чотирикутної піраміди становить приблизно 101.88 квадратних сантиметрів.