Question

Sin^2x-cosx=1/4 Решить тригонометрическое уравнение

Answer 1

Ответ:     x = ± π/3 + 2πn ,   nЄ Z .

Объяснение:

    sin²x - cosx = 1/4 ;

  1 - cos²x - cosx = 1/4 ;

   cos²x + cosx - 0,75 = 0 ;

  заміна    у = cosx  , | y | ≤ 1  ;

   y² + y - 0,75 = 0 ;    D = 4 > 0 ;   y₁ = - 1,5 < - 1 ;    y₂ = 1/2 .

  Повертаємося до змінної х :

     cosx = 1/2 ;

     х = ± arccos1/2 + 2πn ,   nЄ Z ;

    x = ± π/3 + 2πn ,   nЄ Z .

Answer 2

Для решения уравнения sin^2x - cosx = 1/4 используем тригонометрические тождества.

Заменим sin^2x на 1 - cos^2x, получим уравнение: 1 - cos^2x - cosx = 1/4

Приведем уравнение к квадратному виду: cos^2x + cosx - 3/4 = 0

Теперь решим квадратное уравнение относительно cosx: D = 1 - 4*(-3/4) = 1 + 3 = 4 cosx = (-1 +/- 2)/2 cosx1 = -3/2 - не подходит, так как косинус не может быть больше 1 cosx2 = 1/2

Теперь найдем значения x, соответствующие найденным значениям cosx: x1 = arccos(-3/2) - не существует x2 = arccos(1/2) = π/3 x3 = 2π/3

Итак, уравнение sin^2x - cosx = 1/4 имеет два решения: x = π/3 + 2πn, где n - целое число x = 2π/3 + 2πn, где n - целое число