Question

Дано тетраедр ABCD, в якому АС = 6 см, BD = 8 см, М - середина АB, N середина CD і MN = 5 см. Знайдіть кут між ВD і АС​

Answer 1

Для знаходження кута між векторами BD і AC в тетраедрі ABCD вам спершу потрібно знайти кут між векторами BD і AC. Для цього ми можемо використовувати властивості середніх ліній та векторного добутку.

1. Знайдіть вектори AB і CD: AB = B - A, де A і B - вершини тетраедра, тобто A (0, 0, 0) і B (12, 0, 0) (оскільки AB = 2*AM, де M - середина AB). AB = (12, 0, 0)

CD = D - C, де C і D - вершини тетраедра, тобто C (0, 0, 6) і D (0, 8, 6) (оскільки CD = 2*DN, де N - середина CD). CD = (0, 8, 0)

2. Знайдіть вектори BD і AC: BD = D - B = (0, 8, 6) - (12, 0, 0) = (-12, 8, 6)

AC = C - A = (0, 0, 6) - (0, 0, 0) = (0, 0, 6)

3. Тепер знайдіть кут між векторами BD і AC використовуючи властивості векторного добутку та скалярного добутку: Використовуючи властивості векторного добутку, можемо знайти синус кута між векторами: sin(θ) = |BD × AC| / (|BD| * |AC|), де × - векторний добуток, а |x| - модуль вектора x.

|BD × AC| = |(-12, 8, 6) × (0, 0, 6)| = |(-48, -72, 0)| = √((-48)^2 + (-72)^2 + 0) = √(2304 + 5184) = √7488

|BD| = |(-12, 8, 6)| = √((-12)^2 + 8^2 + 6^2) = √(144 + 64 + 36) = √244

|AC| = |(0, 0, 6)| = 6

Тепер можемо знайти sin(θ): sin(θ) = √7488 / (√244 * 6)

4. Знайдіть кут між векторами BD і AC, використовуючи арксинус: θ = arcsin(sin(θ)) = arcsin(√7488 / (√244 * 6))

Розрахунок цього виразу віддельно може здатися складним завданням, і ви можете використовувати калькулятор для числових обчислень. Кут θ, знайдений таким чином, буде кутом між векторами BD і AC у вашому тетраедрі.