Question

Довжина проекції катета на гіпотенузу прямокутного трикутника, дорівнює с. Величина кута між другим катетом і висотою дорівнює . Знайдіть довжини сторін даного трикутника. Решите пж

Answer 1

Давайте позначимо дані величини та знані елементи прямокутного трикутника.

Нехай \(a\) та \(b\) - катети, \(c\) - гіпотенуза, а \(h\) - висота, опущена з вершини прямого кута на гіпотенузу. За умовою задачі, довжина проекції катета \(a\) на гіпотенузу дорівнює \(c\), і кут між катетом \(b\) та висотою дорівнює \(s\).

Ми можемо скористатися властивостями прямокутного трикутника та поділити задачу на два підзадачі:

1. Знайдемо величину кута \(s\). 2. За допомогою кута \(s\) та відомих відношень в прямокутнику трикутнику знайдемо довжини сторін.

1. Знайдемо величину кута \(s\):

Оскільки проекція катета \(a\) на гіпотенузу дорівнює \(c\), ми можемо скористатися визначенням тригонометричних функцій. За теоремою синусів:

\[\sin s = \frac{a}{c}\]

Звідси можна знайти \(s\):

\[s = \arcsin\left(\frac{a}{c}\right)\]

2. За допомогою кута \(s\) знайдемо довжини сторін:

Знаючи величину кута \(s\), можна визначити інші відношення в прямокутному трикутнику.

1. Знаходимо довжину другого катета \(b\) за теоремою синусів:

\[b = c \cdot \sin s\]

2. Знаходимо висоту \(h\) за теоремою косинусів:

\[h = c \cdot \cos s\]

Таким чином, ми знайшли довжини сторін трикутника: \(a\), \(b\), \(c\) та висоту \(h\).

Важливо врахувати, що значення \(s\) має бути виражене в радіанах, а не в градусах, якщо використовується функція арксинуса (\(\arcsin\)).