Question

(40б) 7. Довжина проекції катета на гіпотенузу прямокутного трикутника, дорівнює с. Величина кута мiждругим катетом і висотою дорівнює В. Знайдіть довжини сторiн даного трикутника.

Answer 1

Для данного прямоугольного треугольника со сторонами a, b и гипотенузой c, высота опущенная на гипотенузу из вершины, противоположной катету, равна h. Можно использовать следующие формулы:

$a^2 + b^2 = c^2$ (теорема Пифагора)

$S = \frac{1}{2}ab = \frac{1}{2}ch$ (площадь)

$\tan B = \frac{h}{b}$ (тангенс угла B)

$h = b \tan B$

$b = \frac{2S}{c \tan B}$

$a = \sqrt{c^2 - (\frac{2S}{c \tan B})^2}$

Для решения задачи нужно знать значение проекции катета на гипотенузу (длина с), а также значение угла B (в градусах), чтобы вычислить тангенс этого угла. После этого можно вычислить длину катета, используя формулу для b, а затем вычислить длину другого катета, используя формулу для a.

Answer 2

Давайте позначимо довжину першого катета як а і довжину гіпотенузи як с.

Застосуємо теорему Піфагора для знаходження довжини другого катета:

а^2 + b^2 = c^2

де а - перший катет, b - другий катет, c - гіпотенуза.

Знаємо, що довжина проекції першого катета на гіпотенузу дорівнює с, тобто:

b = с.

Також нам дано, що величина кута між другим катетом і висотою дорівнює В. Пригадаємо, що в прямокутному трикутнику кожен кут може бути виражений як тангенс відповідного кута:

tan(B) = b / h,

де B - кут між другим катетом і висотою, b - другий катет, h - висота.

Оскільки b = с, то можемо записати:

tan(B) = с / h.

Знаючи величину кута B, ми можемо знайти тангенс цього кута і отримати рівняння:

с / h = tan(B).

Тепер, ми можемо використати визначення тангенса:

tan(B) = протилежний катет / прилеглий катет.

У нашому випадку, протилежний катет це с, а прилеглий катет це h. Отже:

с / h = с / а.

Виключаємо h з рівняння:

h = а.

Підставимо це значення в рівняння, що містить тангенс:

с / а = с / а.

Знаючи, що а ≠ 0, можемо скоротити с на обох боках:

1 = 1.

Це рівняння є ідентичним, що означає, що немає обмежень на значення а і с.

Отже, довжини сторін даного трикутника можуть бути будь-якими числами, підлягаючи умовам прямокутного трикутника.