Question

В прямоугольном треугольнике ABC с прямым углом С известны гипотенуза и тангенс угла: AB = 39, tg угла A = дробь 5/12. Найдите длину катета АС. ​

Answer 1

В прямоугольном треугольнике тангенс острого угла - отношение противолежащего катета к прилежащему.

tgA =BC/AC =5/12

BC=5x, AC=12x => AB=13x (т Пифагора)

13x=39 => x=3 => AC=12*3=36

Или

В прямоугольном треугольнике косинус острого угла - отношение прилежащего катета к гипотенузе.

$cosA=\±\sqrt{\frac{1}{tg^2A+1}}=\frac{12}{13}$

(косинус острого угла положительный)

cosA =AC/AB => AC/39 =12/13 => AC=36

Answer 2

Для решения данной задачи будет использовано следующее соотношение:

tg(угол a) = противоположный катет / прилежащий катет

Из данной нам информации известны тангенс угла a (тангенс a = 5/12) и гипотенуза ab = 39.

Применим данное соотношение:

tg(a) = противоположный катет / прилежащий катет

Зная, что противоположный катет прямоугольного треугольника равен АС, а прилежащий катет равен bc, получаем:

tg(a) = АС / bc

Тангенс a в данной задаче равен 5/12, поэтому перепишем уравнение:

5/12 = АС / bc

Теперь нам известно значение гипотенузы ab = 39. В прямоугольном треугольнике гипотенуза связана с катетами по формуле Пифагора:

ab^2 = bc^2 + АС^2

Подставляем известные значения:

39^2 = bc^2 + АС^2

Получается уравнение с одной переменной (прилежащим катетом bc). Найдем значение прилежащего катета:

bc^2 = 39^2 - АС^2

bc = √(1521 - АС^2)

Теперь подставляем значение bc в уравнение, полученное из тангенса:

5/12 = АС / √(1521 - АС^2)

Сокращаем на АС:

5 / (12√(1521 - АС^2)) = 1 / АС

Теперь перепишем уравнение:

АС = 12√(1521 - АС^2) / 5

Теперь решим это уравнение, переместив все обратно и приведя к квадратному уравнению:

АС * 5 = 12√(1521 - АС^2)

25АС^2 = 144∙(1521 - АС^2)

25АС^2 = 207744 - 144АС^2

169АС^2 = 207744

АС^2 = 207744 / 169

АС = √(207744 / 169)

АС ≈ 24

Таким образом, длина катета АС примерно равна 24.