Question

Знайти відстань від точки P(-1;-2;2) до прямої (x/2)=(y/-2)=((z-2)/3)

Answer 1

Даны точка P(-1;-2;2) и прямая (x/2)=(y/-2)=((z-2)/3).

Из уравнения прямой получим:

s = 2; -2; 3   - направляющий вектор прямой;

M1 = 0; 0; 2   - точка лежащая на прямой.

Находим вектор РМ1.

РM1 = {M1x - Рx; M1y - Рy; M1z - Рz} = 0 - (-1); 0 - (-2); 2 - 2 = 1; 2; 0

Площадь параллелограмма лежащего на двух векторах РM1 и s:

S = |РM1 × s|

РM1 × s =    i    j    k

                  1    2     0

                  2   -2    3  =

= i (2·3 - 0·(-2)) - j (1·3 - 0·2) + k (1·(-2) - 2·2) =

= i (6 – 0) - j (3 – 0) + k (-2 – 4) =

= 6; -3; -6.

Зная площадь параллелограмма и длину стороны найдем высоту (расстояние от точки до прямой):

d = |РM1×s||s| = √(6² + (-3)² + (-6)²)/√(2² + (-2)² +3²) = √81/√17 = √(81/17) = 9√17/17 ≈ 2,18282.

Answer 2

Для нахождения расстояния от точки P до прямой необходимо использовать формулу для расстояния от точки до прямой в трехмерном пространстве.

Прямая задана параметрическими уравнениями: x/2 = y/-2 = (z-2)/3

Точка P задана координатами (-1, -2, 2).

Найдем координаты направляющего вектора прямой: a = (2, -2, 3)

Теперь найдем координаты вектора, направленного из точки P на произвольную точку прямой: r = (x - (-1), y - (-2), z - 2) r = (x + 1, y + 2, z - 2)

Теперь найдем проекцию вектора r на направляющий вектор прямой: |proj_a(r)| = |r * a| / |a| |proj_a(r)| = |(x + 1, y + 2, z - 2) * (2, -2, 3)| / sqrt(2^2 + (-2)^2 + 3^2) |proj_a(r)| = |2x + 2 - 2y - 4 + 3z - 6| / sqrt(4 + 4 + 9) |proj_a(r)| = |2x - 2y + 3z - 8| / sqrt(17)

Теперь найдем расстояние от точки P до прямой: d = |r - proj_a(r)| d = |(x + 1, y + 2, z - 2) - (2x - 2y + 3z - 8)| d = |(1 - 2x, 2 + 2y, -2 - 3z + 8)| d = sqrt((1 - 2x)^2 + (2 + 2y)^2 + (-2 - 3z + 8)^2)

Таким образом, найдено расстояние от точки P до прямой.