Question

Периметр рівнобедреного трикутника дорівнює 32см, а бічна сторона до основи відноситься як 5:6. Знайдіть радіуси вписаного та описаного кіл трикутника СРЧНО 30 БАЛІВ

Answer 1

ДАВС рівнобедрений (AB = BC).

Нехай АВ = ВС = 5х, тоді АС = 6x.

Т. я. периметр 32, складемо рівняння:

5x + 5x + 6x = 32

16x =32

x = 2 cm

Тоді АВ = ВС = 10 см, а АС = 12 см.

Знайдемо площу трикутника. S

=

AC *BH, BН - висота.

ВН = √BC2 — НС2 = √100 — 36 = 8

=

CM.

2

Тоді площа ДАВC S = = * AC * ВН

* 8 * 10 = 40 cм^2.

-

12

40

*

=

Зн-мо радіус вписаного кола через

іншу площу трикутника.

S = pr , де р - півпериметр = 16 см, а r -

радіус вписаного кола, який шукаємо.

40 = 16r

r=40:16

r=2,5 CM.

Відповідь: r=2,5 см, R=7.5 см.

Answer 2

Для розв'язання цієї задачі скористаємося тим фактом, що в рівнобедреному трикутнику бічна сторона, проведена від вершини до середини протилежної основи, є висотою і медіаною одночасно.

Нехай \(a\) - бічна сторона трикутника, \(b\) - основа, тоді можна записати наступні відношення:

1. Периметр трикутника: \(P = 2a + b = 32\) (за умовою). 2. Відношення бічної сторони до основи: \(\frac{a}{b} = \frac{5}{6}\).

Розглянемо систему рівнянь:

\[ \begin{cases} 2a + b = 32 \\ \frac{a}{b} = \frac{5}{6} \end{cases} \]

Розв'яжемо її. Спростимо друге рівняння, помноживши обидві його частини на 6:

\[ \begin{cases} 2a + b = 32 \\ 6 \cdot \frac{a}{b} = 6 \cdot \frac{5}{6} \end{cases} \]

Отримаємо:

\[ \begin{cases} 2a + b = 32 \\ \frac{6a}{b} = 5 \end{cases} \]

Виразимо \(a\) з другого рівняння:

\[ \begin{align*} \frac{6a}{b} &= 5 \\ 6a &= 5b \\ a &= \frac{5}{6}b \end{align*} \]

Тепер підставимо це значення \(a\) у перше рівняння:

\[ \begin{align*} 2\left(\frac{5}{6}b\right) + b &= 32 \\ \frac{5}{3}b + b &= 32 \\ \frac{8}{3}b &= 32 \end{align*} \]

Тепер знайдемо значення \(b\):

\[ \begin{align*} \frac{8}{3}b &= 32 \\ b &= \frac{3}{8} \cdot 32 \\ b &= 12 \end{align*} \]

Тепер підставимо значення \(b\) у вираз для \(a\):

\[ \begin{align*} a &= \frac{5}{6} \cdot 12 \\ a &= 10 \end{align*} \]

Отже, бічна сторона \(a = 10\) і основа \(b = 12\).

Тепер ми можемо знайти висоту та медіану. Висота \(h\) і медіана \(m\) в рівнобедреному трикутнику обчислюються за формулами:

\[ h = \sqrt{a^2 - \left(\frac{b}{2}\right)^2} \]

\[ m = \sqrt{\frac{2a^2 + b^2}{4}} \]

Підставимо значення:

\[ \begin{align*} h &= \sqrt{10^2 - \left(\frac{12}{2}\right)^2} = \sqrt{100 - 36} = \sqrt{64} = 8 \\ m &= \sqrt{\frac{2 \cdot 10^2 + 12^2}{4}} = \sqrt{\frac{200 + 144}{4}} = \sqrt{\frac{344}{4}} = \sqrt{86} \end{align*} \]

Отже, висота \(h = 8\), а медіана \(m = \sqrt{86}\).

Тепер, щоб знайти радіус вписаного кола, можемо використовувати формулу:

\[ r_{\text{впис. кільця}} = \frac{\text{Площа трикутника}}{\text{Півпериметр трикутника}} \]

Площа трикутника \(S\) обчислюється за формулою Герона:

\[ S = \sqrt{p(p - a)(p - b)(p - c)} \]

де \(p\) - півпериметр трикутника, \(p = \frac{a + b + c}{2}\).

Отже, ми маємо:

\[ \begin{align*} p &= \frac{10 + 12 + 10}{2} = 16 \\ S &= \sqrt{16 \cdot 6 \cdot 4 \cdot 6} = \sqrt{6^2 \cdot 4^2 \cdot 6} = 24 \\ r_{\text{впис. кільця}} &= \frac{24}{16} = \frac{3}{2} \end{align*} \]

Отже, радіус вписаного кола дорівнює \(\frac{3}{2}\).

Тепер, щоб знайти радіус описаного кола, використаємо формулу:

\[ r_{\text{опис. кільця}} = \frac{abc}{4S} \]

Отже,

\[ r_{\text{опис. кільця}} = \frac{10 \cdot 12 \cdot 10}{4 \cdot 24} = \frac{1200}{96} = \frac{25}{2} \]

Отже, радіус описаного кола дорівнює \(\frac{25}{2}\).

У цілому, отримали такі значення:

1. Радіус вписаного кола: \(r_{\text{впис. кільця}} = \frac{3}{2}\). 2. Радіус описаного кола: \(r_{\text{опис. кіль