Question

В прямоугольнике ABCD из вершины B на диагональ AC опущен перпендикуляр BK. Если отношение CD:AC = 1:2, то отношение AK:KC равно:

Answer 1

Ответ:

AK:KC = 1:3

Объяснение:

1) ΔАСД (∠Д=90°)

СД/АС = 1/2 ⇒ СД = АС/2. Катет, равный половине гипотенузы, лежит напротив угла в 30° ⇒ ∠САД=30°

2) ∠ВСА= ∠САД=30° (как внутренние накрестлежащие углы при ВС║АД и секущей АС.

ΔАВС (∠В=90°) : ∠ВАС= 90°-30°=60°

3) ΔАВК(∠К=90°): АК=ВК/tg60°

   ΔВКС(∠К=90°): КС=ВК/tg30°

⇒ АК/КС = ВК/tg60° : ВК/tg30° = ВК/tg60° * tg30°/ВК = tg30°/tg60° = $\frac{\sqrt{3} }{3}$ : $\sqrt{3}$ =

= 1:3

Answer 2

Давайте обозначим точки следующим образом:

- \( A \) - вершина прямоугольника, где пересекаются диагонали; - \( B \) - вершина, из которой опущен перпендикуляр \( BK \) на диагональ \( AC \); - \( C \) и \( D \) - две другие вершины прямоугольника.

Пусть \( AK = x \) и \( KC = y \). Тогда \( AC = AK + KC = x + y \).

Условие задачи утверждает, что отношение \( CD:AC = 1:2 \). Это означает, что

\[ CD = \frac{1}{3} \cdot AC. \]

Так как \( AC = x + y \), то

\[ CD = \frac{1}{3} \cdot (x + y). \]

Теперь рассмотрим треугольник \( BKC \). В нем вертикальная \( BK \) и горизонтальная \( CD \) - высоты. По условию задачи эти высоты связаны отношением \( CD:BK = 1:2 \).

Таким образом,

\[ \frac{1}{3} \cdot (x + y) : x = 1:2. \]

Теперь решим это уравнение. Умножим обе стороны на 3, чтобы избавиться от дроби:

\[ x + y : x = 3:2. \]

Теперь выразим \( y \) через \( x \):

\[ x + y = \frac{3}{2}x. \]

Выразим \( y \):

\[ y = \frac{3}{2}x - x = \frac{1}{2}x. \]

Таким образом, отношение \( AK:KC \) равно \( x:\frac{1}{2}x \). Сократим дробь:

\[ AK:KC = 1: \frac{1}{2} = 2:1. \]

Итак, отношение \( AK:KC \) равно \( 2:1 \).