Question

Площина, паралельна діагоналі АС прямокутника ABCD, перетинає сторони АВ і ВС у точках К і М відповідно, АК =5 см, ВМ = 12 см. Знайдіть периметр прямокутника ABCD, якщо площа п'ятикутника ADCMK дорівнює 510 см².

Answer 1

Давайте розглянемо подану задачу.

1. Позначимо сторони прямокутника ABCD: - AB - довжина, - BC - ширина.

2. Зазначено, що площина, паралельна діагоналі AC, перетинає сторони AB і BC у точках K і M відповідно.

3. Дано: - AK = 5 см, - BM = 12 см.

4. Ми також знаємо, що площа п'ятикутника ADCMK дорівнює 510 см².

5. Площа п'ятикутника ADCMK може бути розкладена на площі трикутників AKC і MCB та площу прямокутника ABCD.

6. Площа трикутника AKC: \[S_{\triangle AKC} = \frac{1}{2} \cdot AK \cdot AC.\]

7. Площа трикутника MCB: \[S_{\triangle MCB} = \frac{1}{2} \cdot BM \cdot BC.\]

8. Площа прямокутника ABCD: \[S_{ABCD} = AB \cdot BC.\]

9. За умовою, площа п'ятикутника ADCMK дорівнює сумі площ трикутників AKC і MCB та площі прямокутника ABCD: \[S_{ADCMK} = S_{\triangle AKC} + S_{\triangle MCB} + S_{ABCD}.\]

Тобто: \[510 = \frac{1}{2} \cdot AK \cdot AC + \frac{1}{2} \cdot BM \cdot BC + AB \cdot BC.\]

10. Підставимо відомі значення: \[510 = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot AC + \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot BC + AB \cdot BC.\]

11. Маємо ще одне відоме значення, а саме, що площа прямокутника ABCD розкладається на добуток його сторін: \[S_{ABCD} = AB \cdot BC.\]

12. Підставимо це вираз у попереднє рівняння: \[510 = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot AC + \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot BC + (AB \cdot BC).\]

13. Також можемо використати відомі значення з задачі: - AK = 5, - BM = 12.

14. З отриманого рівняння знайдемо вираз для AC: \[510 = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot AC + \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot BC + (AB \cdot BC).\] \[510 = \frac{5}{2} \cdot AC + 6 \cdot BC + (AB \cdot BC).\]

15. Розглянемо рівняння, що описує площу прямокутника: \[S_{ABCD} = AB \cdot BC.\]

16. Підставимо відомі значення: \[S_{ABCD} = (AB \cdot BC).\]

17. Також використаємо відоме значення площі прямокутника в попередньому рівнянні: \[AB \cdot BC = \frac{5}{2} \cdot AC + 6 \cdot BC + (AB \cdot BC).\]

18. Помножимо обидва боки на 2 для позбавлення від знаменників: \[2 \cdot AB \cdot BC = 5 \cdot AC + 12 \cdot BC + 2 \cdot (AB \cdot BC).\]

19. Віднімемо вираз \(AB \cdot BC\) з обох боків: \[AB \cdot BC = 5 \cdot AC + 12 \cdot BC.\]

20. Тепер можемо підставити вираз для \(AB \cdot BC\) у рівняння, що описує площу п'ятикутника ADCMK: \[510 = \frac{5}{2} \cdot AC + 6 \cdot BC + (AB \cdot BC).\]

Підставимо значення \(AB \cdot BC\): \[510 = \frac{5}{2} \cdot AC + 6 \cdot BC + (5 \cdot AC + 12 \cdot BC).\]

21. Зробимо необхідні операції для обчислення: \[510 = \frac{15}{2} \cdot AC + 18 \cdot BC.\]

22. Тепер розв'яжемо отримане рівняння для знаходження значень AC та BC.

23. Знаючи значення AC та BC, ми можемо знайти сторони прямокутника ABCD.

24. Периметр прямокутника ABCD обчислюється як сума всіх його сторін: \[P_{ABCD} = 2 \cdot (AB + BC).\]

Тепер ви можете розв'язати отримані рівняння та знайти периметр прямокутника ABCD.