Question

У правильній чотирикутній призмі бічне ребро дорівнює 3 см, а площа повної поверхні S=32см^2. Знайдіть сторону основи призми.

Answer 1

Позначимо сторону основи чотирикутної призми через "а". Для правильної чотирикутної призми бічне ребро можна подати як відстань від вершини до середини сторони основи, і воно утворює прямий кут із стороною основи.

Площа поверхні призми складається з площі чотирикутної основи та чотирьох прямокутних бічних поверхонь. Запишемо формулу для площі повної поверхні:

\[ S = 2 \cdot (\text{площа основи}) + (\text{периметр основи}) \cdot (\text{висота бічної поверхні}) \]

Оскільки у нас правильна чотирикутна призма, то периметр основи дорівнює \(4 \cdot a\), а висота бічної поверхні - це саме бічне ребро призми.

\[ S = 2 \cdot a^2 + 4a \cdot 3 \]

Задано, що \(S = 32 \, \text{см}^2\):

\[ 32 = 2a^2 + 12a \]

Розв'яжемо це квадратне рівняння. Спочатку розкриємо дужки:

\[ 2a^2 + 12a - 32 = 0 \]

Тепер можна використовувати формулу для розв'язування квадратного рівняння. Для нашого випадку це буде:

\[ a = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]

У нашому випадку \(a\) - це коефіцієнт при \(a^2\) (2), \(b\) - коефіцієнт при \(a\) (12), а \(c\) - вільний член (-32).

\[ a = \frac{-12 \pm \sqrt{12^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-32)}}{2 \cdot 2} \]

\[ a = \frac{-12 \pm \sqrt{144 + 256}}{4} \]

\[ a = \frac{-12 \pm \sqrt{400}}{4} \]

\[ a = \frac{-12 \pm 20}{4} \]

Тепер розглянемо два варіанти:

1. \[ a_1 = \frac{-12 + 20}{4} = \frac{8}{4} = 2 \]

2. \[ a_2 = \frac{-12 - 20}{4} = \frac{-32}{4} = -8 \]

Стрибаємо від'ємні значення, оскільки сторона призми не може мати від'ємну довжину. Таким чином, сторона основи призми дорівнює 2 см.