Question

№6 Доведіть, що чотирикутник ABCD з вершинами в точках A(-1;3), B(5;6), C(5;-1), D(-3;-5) є трапецією. №7 Модуль вектора ΙbΙ =26. Знайдіть координати вектора b, колінеарного вектору а(5;-12).

Answer 1

Звідкіля почнемо? Щодо №6 - для доведення, що чотирикутник ABCD є трапецією, нам потрібно показати, що одна пара протилежних сторін паралельна. Якщо ми розглянемо координати вершин ABCD, можемо знайти рівняння відповідних сторін.

Візуалізуючи вершини:

A(-1, 3) B(5, 6) C(5, -1) D(-3, -5)

За допомогою формулі для знаходження рівняння прямої по двом точкам (y - y₁) = m(x - x₁), де m - це нахил прямої, можемо знайти нахил кожної сторони.

Сторона AB: m_AB = (6 - 3) / (5 - (-1)) = 3 / 6 = 1/2

Сторона BC: m_BC = (-1 - 6) / (5 - 5) = -7 / 0 (видно, що нахил не визначений, бо знаменник = 0)

Сторона CD: m_CD = (-5 - 6) / (-3 - 5) = -11 / (-8) = 11 / 8

Сторона DA: m_DA = (-5 - 3) / (-3 - (-1)) = -8 / (-2) = 4

Отже, ми бачимо, що сторона AB має нахил 1/2, а сторона CD має нахил 11/8. Хоча інші сторони не мають визначеного нахилу через вершину С, AB та CD - паралельні, оскільки мають різні нахили. Отже, чотирикутник ABCD є трапецією.

Тепер щодо №7 - модуль вектора \( ||b|| = 26 \) та потрібно знайти вектор \( b \), який колінеарний вектору \( a(5, -12) \). Колінеарні вектори - це вектори, які лежать на одній прямій чи паралельні один одному, і відношення їх компонентів залишається постійним.

Вектор \( a(5, -12) \) може бути представлений як кратне деякого числа \( k \), щоб отримати вектор \( b \) колінеарний \( a \) та з модулем 26.

Коли \( b = (5k, -12k) \), модуль вектора \( b \) може бути знайдений за формулою модуля вектора \( ||b|| = \sqrt{(5k)^2 + (-12k)^2} \).

\( 26 = \sqrt{25k^2 + 144k^2} \) \( 26 = \sqrt{169k^2} \) \( 26 = 13k \) \( k = \frac{26}{13} \) \( k = 2 \)

Тому, координати вектора \( b \), колінеарного вектору \( a(5, -12) \), будуть \( b = (5 \times 2, -12 \times 2) = (10, -24) \).