Question

17.5. ЗНО 2019 (основна сесія) Сторона основи правильної чотирикутної піраміди дорівнює 6 см, усі п бічні грані нахилені до площини основи під кутом 60°. Визначте площу бічної поверхні пісі піраміди

Answer 1

Для визначення площі бічної поверхні піраміди можна скористатися формулою:

\[ S_{\text{б}} = \frac{1}{2} \times \text{периметр основи} \times \text{висота бічної грані}. \]

Дано, що сторона основи правильної чотирикутної піраміди дорівнює 6 см. Площа бічної грані правильної чотирикутної піраміди може бути знайдена за допомогою трикутника, утвореного стороною основи, висотою піраміди і половиною діагоналі основи.

Для знаходження висоти \( h \) та половини діагоналі \( d \), можна скористатися трикутником прямокутного бічного сходження піраміди. Оскільки всі бічні грани нахилені до площини основи під кутом 60°, то отримаємо прямокутний трикутник з кутом 30°. За теоремою синусів маємо:

\[ \sin 30° = \frac{h}{d}, \]

де \( h \) - висота бічної грани, \( d \) - діагональ основи.

Розв'язавши це рівняння відносно \( h \), отримаємо:

\[ h = d \times \frac{\sqrt{3}}{2}. \]

Також, оскільки сторона основи \( a \) дорівнює 6 см, то діагональ \( d \) можна знайти як:

\[ d = a \times \sqrt{2}. \]

Підставивши це значення в рівняння для висоти, отримаємо:

\[ h = 6 \times \sqrt{2} \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 3 \sqrt{6}. \]

Тепер можна знайти площу бічної поверхні за допомогою формули:

\[ S_{\text{б}} = \frac{1}{2} \times \text{периметр основи} \times \text{висота бічної грані} \]

Периметр основи чотирикутної піраміди дорівнює \( P = 4a \), тобто \( P = 4 \times 6 = 24 \) см.

Підставивши усі значення, отримаємо:

\[ S_{\text{б}} = \frac{1}{2} \times 24 \times 3 \sqrt{6} = 36 \sqrt{6} \, \text{см}^2. \]

Отже, площа бічної поверхні правильної чотирикутної піраміди дорівнює \( 36 \sqrt{6} \, \text{см}^2 \).