Question

6. Прямі а i b, b i c, a i с перетинаються і точки їх перетину не збігаються. Чи лежать прямі а, b, і с в одній площині? Відповідь обґрунтуйте.​

Answer 1

Щоб визначити, чи лежать прямі \(a\), \(b\) і \(c\) в одній площині, важливо розглянути їхні точки перетину і вектори напряму.

Припустимо, що прямі \(a\) і \(b\) перетинаються в точці \(P\), пряма \(b\) і \(c\) - в точці \(Q\), а пряма \(a\) і \(c\) - в точці \(R\). Тобто, \(P\) - точка перетину між \(a\) і \(b\), \(Q\) - між \(b\) і \(c\), \(R\) - між \(a\) і \(c\).

Також, визначимо вектори напряму для цих прямих:

- Вектор напряму для прямої \(a\) позначимо як \(\vec{v_a}\). - Вектор напряму для прямої \(b\) позначимо як \(\vec{v_b}\). - Вектор напряму для прямої \(c\) позначимо як \(\vec{v_c}\).

Якщо вектори напряму для всіх трьох прямих лежать в одній площині (тобто вони лінійно залежні), то можна вважати, що прямі лежать в одній площині. Інакше кажучи, якщо вони лежать в одній площині, то вони не мають лінійної незалежності, і їх вектори напряму можна виразити як лінійну комбінацію один одного.

Математично це можна виразити так:

Якщо \(\vec{v_a}\), \(\vec{v_b}\) і \(\vec{v_c}\) лінійно залежні, то існують такі константи \(k_1\), \(k_2\) і \(k_3\), не всі одночасно рівні нулю, що:

\[k_1 \vec{v_a} + k_2 \vec{v_b} + k_3 \vec{v_c} = \vec{0}\]

Якщо це вірно, то прямі лежать в одній площині. Якщо це не вірно, тобто жодна лінійна комбінація не дорівнює нульовому вектору, то прямі не лежать в одній площині.

Отже, для вирішення цього питання потрібно дослідити вектори напряму для прямих \(a\), \(b\), і \(c\), і перевірити, чи вони лінійно залежні.