Question

В рівнобічній трапеції АВСД бісектриса тупого кута В відтинає від трапеції паралелограм, а Діагональ АС є бісектрисою кута А. Знайти сторони і кути трапеції, якщо її периметр дорівнює 50 см.

Answer 1

Спробуємо розглянути рівнобічну трапецію АВСД.

Позначимо так:

AB і CD - рівні бічні сторони трапеції.

BC і AD - рівні основи трапеції.

M - середина сторони AB і CD (оскільки BC і AD - рівні бісектриси).

Також, оскільки бісектриса тупого кута В відділяє від трапеції паралелограм, ми можемо припустити, що кути при вершинах В і C дорівнюють 90 градусів кожен.

Позначимо кути трапеції:

∠DAB = ∠BCD = α

∠BCA = ∠BAD = β

∠CAB = ∠BDC = γ

З тим, щоб знайти всі сторони і кути трапеції, ми можемо використовувати дані про периметр:

Периметр трапеції = AB + BC + CD + DA

Відомо, що AB і CD - рівні бічні сторони, тобто AB = CD = a, де a - сторона трапеції.

Також, BC і AD - рівні основи трапеції, тобто BC = AD = b, де b - основа трапеції.

Після підстановки цих значень в формулу периметра отримаємо:

2a + 2b = 50

Розділимо обидві сторони на 2:

a + b = 25

Тепер нам залишилося знайти значення кутів α, β і γ. Ми знаємо, що кути при вершинах В і C дорівнюють 90 градусів, тобто α + β = 90° і α + γ = 90°.

Також, оскільки діагональ AC є бісектрисою кута A, ми можемо записати, що α + γ = 90°.

Знаючи ці рівності, ми можемо визначити значення кутів α, β і γ:

α + β = 90°

α + γ = 90°

α + α = 90°

2α = 90°

α = 45°

Тепер ми знаємо, що α = 45°. Оскільки α + β = 90°, то:

45° + β = 90°

β = 90° - 45°

β = 45°

Отже, ми маємо, що α = β = 45°.

Тепер ми можемо знайти значення γ, використовуючи рівність α + γ = 90°:

45° + γ = 90°

γ = 90° - 45°

γ = 45°

Отже, всі кути трапеції дорівнюють 45°.

Після знаходження кутів ми можемо знайти значення сторін a і b, використовуючи формулу периметра:

a + b = 25

Знаючи, що a = b (оскільки трапеція рівнобічна), ми можемо записати:

2a = 25

a = 25 / 2

a = 12.5 см

Тепер, знаючи a, ми можемо знайти b:

a + b = 25

12.5 + b = 25

b = 25 - 12.5

b = 12.5 см

Отже, сторони трапеції дорівнюють a = 12.5 см і b = 12.5 см, а всі кути трапеції - α = β = γ = 45°.

Answer 2

В данному случае, нам дана рівнобічна трапеція АВСД, в якій бісектриса тупого кута В відтинається від трапеції паралелограмом, а діагональ АС є бісектрисою кута А. Нам потрібно знайти сторони і кути трапеції, якщо її периметр дорівнює 50 см.

Визначення сторін трапеції:

Позначимо сторони трапеції АВСД як AB, BC, CD і DA. За властивостями рівнобічної трапеції, сторони AB і CD є паралельними, а сторони BC і DA є рівними.

Визначення кутів трапеції:

Позначимо кути трапеції АВСД як ∠A, ∠B, ∠C і ∠D. За властивостями рівнобічної трапеції, кути ∠A і ∠D є рівними, а кути ∠B і ∠C є рівними.

Визначення бісектрис:

Бісектриса тупого кута В відтинає трапецію паралелограмом. Це означає, що точка перетину бісектриси і сторони CD ділить сторону CD на дві рівні частини.

Визначення периметру трапеції:

Периметр трапеції - це сума довжин всіх її сторін. За умовою, периметр трапеції дорівнює 50 см.

Вирішення задачі:

Для знаходження сторін і кутів трапеції, нам потрібно використати властивості рівнобічної трапеції та умову про периметр.

1. За властивостями рівнобічної трапеції, сторони BC і DA є рівними. Позначимо їх як x.

2. За властивостями рівнобічної трапеції, кути ∠B і ∠C є рівними. Позначимо їх як y.

3. За властивостями рівнобічної трапеції, кути ∠A і ∠D є рівними. Позначимо їх як z.

4. За властивостями бісектриси, точка перетину бісектриси і сторони CD ділить сторону CD на дві рівні частини. Позначимо довжину однієї з цих частин як d.

5. За умовою, периметр трапеції дорівнює 50 см. Запишемо це умову у вигляді рівняння: AB + BC + CD + DA = 50

6. Враховуючи властивості рівнобічної трапеції, можемо записати: AB + x + CD + x = 50

7. Враховуючи властивості бісектриси, можемо записати: CD = 2d

8. Підставимо значення CD у рівняння периметру: AB + x + 2d + x = 50

9. Скоротимо рівняння: 2x + 2d + AB = 50

10. За властивостями рівнобічної трапеції, можемо записати: AB = BC = x

11. Підставимо значення AB у рівняння: 2x + 2d + x = 50

12. Скоротимо рівняння: 3x + 2d = 50

13. За властивостями рівнобічної трапеції, можемо записати: ∠B = ∠C = y

14. За властивостями рівнобічної трапеції, можемо записати: ∠A = ∠D = z

15. За властивостями бісектриси, можемо записати: ∠B + ∠C + ∠A + ∠D = 180

16. Підставимо значення ∠B, ∠C, ∠A і ∠D у рівняння: y + y + z + z = 180

17. Скоротимо рівняння: 2y + 2z = 180

18. За властивостями рівнобічної трапеції, можемо записати: 2y = 2z

19. Підставимо значення 2y у рівняння: 4y = 180

20. Розв'яжемо рівняння: y = 45

21. Підставимо значення y у рівняння: 2(45) + 2z = 180

22. Скоротимо рівняння: 90 + 2z = 180

23. Віднімемо 90 від обох боків рівняння: 2z = 90

24. Розв'яжемо рівняння: z = 45

25. Підставимо значення z у рівняння: 3x + 2(45) = 50

26. Скоротимо рівняння: 3x + 90 = 50

27. Віднімемо 90 від обох боків рівняння: 3x = -40

28. Розділимо обидва боки рівняння на 3: x = -40/3

Отже, сторони трапеції АВСД мають довжини AB = BC = x = -40/3 см, CD = 2d = 2(45) = 90 см, DA = x = -40/3 см.

Кути трапеції АВСД мають величини ∠A = ∠D = z = 45°, ∠B = ∠C = y = 45°.

Зауваження: Врахуйте, що значення сторін трапеції та кутів можуть бути від'ємними або нефізичними. У такому випадку, варто перевірити умови задачі та виправити помилки, якщ