Question

Доведіть, що чотирикутник ABCD з вершинами в точках A (3;-4),B(-2; 7), C(-4;16) і D (1; 5) є паралелограмом.

Answer 1

Щоб довести, що чотирикутник ABCD є паралелограмом, можна використовувати властивості паралелограмів. Одна з основних властивостей паралелограма - протилежні сторони та кути паралельні і рівні. Також можна використовувати властивості векторів.

Позначимо вектори за допомогою літер, наприклад, вектор AB позначимо як \(\overrightarrow{AB}\).

1. Знаходимо вектори сторін чотирикутника: - \(\overrightarrow{AB} = \langle -2 - 3, 7 - (-4) \rangle = \langle -5, 11 \rangle\) - \(\overrightarrow{BC} = \langle -4 - (-2), 16 - 7 \rangle = \langle -2, 9 \rangle\) - \(\overrightarrow{CD} = \langle 1 - (-4), 5 - 16 \rangle = \langle 5, -11 \rangle\) - \(\overrightarrow{DA} = \langle 3 - 1, -4 - 5 \rangle = \langle 2, -9 \rangle\)

2. Перевіряємо, чи протилежні сторони паралельні, порівнюючи їхні вектори: - \(\overrightarrow{AB} = \langle -5, 11 \rangle\) - \(\overrightarrow{CD} = \langle 5, -11 \rangle\)

Вектори протилежних сторін рівні за модулем, але протилежні за напрямком. Отже, сторони AB і CD паралельні.

Аналогічно перевіряємо, що сторони BC і DA теж паралельні.

3. Також можемо порівняти вектори діагоналей: - \(\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \langle -5, 11 \rangle + \langle -2, 9 \rangle = \langle -7, 20 \rangle\) - \(\overrightarrow{BD} = \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CD} = \langle -2, 9 \rangle + \langle 5, -11 \rangle = \langle 3, -2 \rangle\)

Вектори діагоналей не рівні, отже, діагоналі не співпадають.

4. Перевіряємо, чи протилежні кути рівні. Кут між двома векторами визначається за допомогою скалярного добутку: - \(\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{CD} = (-5)(5) + (11)(-11) = -25 - 121 = -146\) - \(\overrightarrow{BC} \cdot \overrightarrow{DA} = (-2)(2) + (9)(-9) = -4 - 81 = -85\)

Кут між стороною AB і стороною CD не рівний куту між стороною BC і стороною DA, отже, протилежні кути не рівні.

Оскільки протилежні сторони паралельні, але вектори діагоналей і кути між сторонами не відповідають властивостям паралелограма, можна зробити висновок, що чотирикутник ABCD не є паралелограмом.