Question

Медиана прямоугольного треугольника, проведённая к гипотенузе, разбивает его на два треугольника с периметрами 8 и 9. Найдите стороны треугольника. (Решите с помощью теоремы о медиане в прямоугольном треугольнике)

Answer 1

Давайте позначимо сторони прямокутного треугольника так: a, b і c, де c - гіпотенуза. Медіана, проведена до гіпотенузи, розділяє треугольник на два менших схожі прямокутні трикутники.

За теоремою про медіану в прямокутному трикутнику, медіана дорівнює половині гіпотенузи. Отже, довжина медіани дорівнює c/2.

Таким чином, один з менших прямокутних трикутників має сторони a, b і c/2, а інший має сторони a, b і c/2.

Зараз ми знаємо, що сума периметрів цих двох менших трикутників дорівнює 8 + 9 = 17. Ми можемо записати рівняння:

(a + b + c/2) + (a + b + c/2) = 17

Зробимо подальші розрахунки:

2(a + b + c/2) = 17

a + b + c = 17/2

Тепер ми маємо одне рівняння, але маємо ще одну рівність з теореми Піфагора для прямокутних трикутників:

a^2 + b^2 = c^2

Ми можемо використовувати обидві ці рівності для розв'язку. Підставимо значення a + b + c з першого рівняння в друге:

(a + b + c)^2 = c^2

(17/2)^2 = c^2

289/4 = c^2

Тепер витягнемо квадратний корінь:

c = √(289/4)

c = √(289) / √(4)

c = 17/2

Отже, гіпотенуза c дорівнює 17/2. Тепер ми можемо знайти a і b за допомогою теореми Піфагора:

a^2 + b^2 = (17/2)^2

a^2 + b^2 = 289/4

Ми маємо багато можливих значень a і b, які задовольняють цьому рівнянню, оскільки це рівняння представляє собою коло на площині a-b. Однак ми не можемо точно визначити a і b без додаткової інформації.

Answer 2

Для решения данной задачи воспользуемся теоремой о медиане в прямоугольном треугольнике. Согласно этой теореме, медиана, проведенная к гипотенузе, делит треугольник на два подобных треугольника, соответственно, отношение площадей этих треугольников равно квадрату отношения длин медианы к гипотенузе.

Пусть медиана, проведенная к гипотенузе, делит треугольник на два треугольника со сторонами a, b, c и a', b', c', где a, b, c - стороны исходного треугольника, а a', b', c' - стороны полученных треугольников.

Так как треугольники подобны, отношение сторон исходного треугольника к сторонам полученных треугольников будет одинаково для каждой стороны. Обозначим это отношение как k.

Тогда у нас будут следующие соотношения:

a' = k * a b' = k * b c' = k * c

Также по условию задачи известно, что периметр одного из полученных треугольников равен 8, а другого - 9. Периметр треугольника равен сумме длин его сторон.

Используя эти соотношения, можем записать систему уравнений:

a' + b' + c' = 8 a' + b' + c'