Question

Основою прямої призми є рiвнобедрений трикутник із кутом 120° і радіусом описаного кола 4 см. Діагональ бічної грані, що містить бічну сторону цього трикутника, утворює з площиною основи кут 45°. Знайти площу повної поверхні призми та площу перерізу, що проходить через сторону основи призми, що лежить проти кута 120°, під кутом 30° до неї.​

Answer 1

Ответ:

Объяснение:

Оскільки кут при основі трикутника дорівнює 120°, то кут при вершині трикутника дорівнює 60° (тому що сума кутів в трикутнику дорівнює 180°).

За теоремою синусів, ми можемо знайти сторону основи трикутника. Нехай a - сторона основи трикутника:

sin(60°) = a/(2 * 4)

1/2 = a/8

a = 4

Тепер знайдемо діагональ бічної грані. Оскільки кут між діагоналлю бічної грані і площиною основи дорівнює 45°, то цей кут також дорівнює куту між діагоналлю бічної грані і прямою, перпендикулярною до сторони основи. Тобто цей кут дорівнює 45° - 90° = -45°.

За теоремою синусів, ми можемо знайти діагональ бічної грані. Нехай d - діагональ бічної грані:

sin(-45°) = d/4

d/4 = -1/√2

d = -4/√2 = -2√2

Зважаючи на симетричну будову прямої призми, довжина діагоналі бічної грані дорівнює 2√2.

Знайдемо площу повної поверхні призми. Нехай S - площа повної поверхні:

S = 2 * (площа основи) + (площа бічної грані)

= 2 * (сторона основи)^2 + (периметр основи) * (висота бічної грані)

= 2 * 4^2 + 3 * 4 * 2√2

= 32 + 24√2

Таким чином, площа повної поверхні призми дорівнює 32 + 24√2 кв. см.

Тепер знайдемо площу перерізу, що проходить через сторону основи призми. Нехай A - площа перерізу:

A = (сторона основи) * (висота бічної грані)

= 4 * 2√2

= 8√2

Таким чином, площа перерізу, що проходить через сторону основи призми, дорівнює 8√2 кв. см.

Answer 2

Для розв'язання задачі скористаємося геометричними властивостями прямої призми.

1. Знайдемо довжину бічної сторони трикутника, що є основою призми. Радіус описаного кола цього трикутника дорівнює 4 см. Так як трикутник є рівнобедреним, то можна використати властивість, що бісектриса кута рівна радіусу описаного кола. Оскільки кут основи трикутника дорівнює 120°, то кут між бісектрисою і однією із сторін дорівнює 60°. Отже, отримуємо трикутник з кутом 60°, одним радіусом 4 см і стороною, яку ми шукаємо. Застосовуючи тригонометрію, знаходимо, що бічна сторона трикутника дорівнює 8 см.

2. Діагональ бічної грані, що містить бічну сторону цього трикутника, утворює з площиною основи кут 45°. Отже, цей трикутник є прямокутним із катетами 8 см і 8√2 см (за теоремою Піфагора). Таким чином, знаходимо, що діагональ бічної грані дорівнює 8√2 см.

3. Знаходимо площу поверхні призми. Для цього потрібно знайти суму площ основи і бічної поверхні. Площа основи - це площа рівнобедреного трикутника, яку можна знайти за формулою: Sосн = (a^2 * sin(α)) / 2, де a - довжина бічної сторони, α - кут між бічною стороною трикутника і діагоналлю бічної грані. Підставляючи значення в цю формулу, знаходимо площу основи. Бічна поверхня - це прямокутний трикутник, який може бути розкладений на два прямокутники зі сторонами 8 см і 8√2 см. Площа бічної поверхні дорівнює: Sбп = 2 * (a * b), де a і b - катети прямокутного трикутника.

4. Знаходимо площу перерізу, що проходить через сторону основи призми, що лежить проти кута 120°, під кутом 30° до неї. Площу перерізу можна знайти за формулою: Sперерізу = a * b * sin(γ), де a і b - сторони перерізу, γ - кут між цими сторонами. Знаходимо значення a і b за допомогою тригонометрії і підставляємо значення в формулу.

Таким чином, ми знайдемо площу повної поверхні призми та площу перерізу, що проходить через сторону основи призми, що лежить проти кута 120°, під кутом 30° до неї.