Question

Помогите пожалуйста : Перпендикуляри, проведені з точки перетину діагоналей прямокутника до двох його суміжних сторін, дорівнюють 3 см і 5 см. Знайди периметр прямокутника

Answer 1

Перпендикуляры, проведенные из точки пересечения диагоналей прямоугольника к двум его смежным сторонам, равны 3 см и 5 см. Найди периметр прямоугольника

РЕШЕНИЕ.

АВСD-прямоугольник,O-точка пересечения диагоналей ⇒ВО=ОD .

Пусть ОР⊥AD, ОК⊥AВ ⇒

ОР║АВ, ОК║АD.

1) ΔАВD, ОР- средняя линия,

ОР=3 см ⇒ по т о средней линии треугольника АВ=6 см.

2) ΔАВD, ОК- средняя линия,

ОК=5 см ⇒ по т о средней линии треугольника АD=10 см.

3) Р(АВСD)=2(6+10)=32 (см)

Answer 2

Давайте обозначим точку пересечения диагоналей прямоугольника как точку \( O \). Пусть \( AB \) и \( CD \) - стороны прямоугольника, а \( AC \) и \( BD \) - его диагонали. Также, пусть \( AE \) и \( CF \) - перпендикуляры, проведенные из точки \( O \) к сторонам \( AB \) и \( CD \) соответственно.

Из условия задачи у нас есть, что длина перпендикуляра \( AE \) равна 3 см, а длина перпендикуляра \( CF \) равна 5 см.

Теперь давайте рассмотрим треугольники \( AEO \) и \( CFO \). В этих треугольниках у нас есть общий катет \( AO \) (половина длины диагонали), и у нас есть известные длины других катетов (\( AE \) и \( CF \)).

Мы можем использовать теорему Пифагора для нахождения длины \( AO \):

\[ AO^2 = AE^2 + EO^2 \quad \text{и} \quad AO^2 = CF^2 + FO^2 \]

где \( EO \) и \( FO \) - оставшиеся катеты в соответствующих треугольниках.

Подставим известные значения:

\[ AO^2 = 3^2 + EO^2 \quad \text{и} \quad AO^2 = 5^2 + FO^2 \]

Теперь найдем \( AO \):

\[ AO^2 = 9 + EO^2 \quad \text{и} \quad AO^2 = 25 + FO^2 \]

Поскольку \( AO \) одинаково в обоих уравнениях, мы можем приравнять выражения:

\[ 9 + EO^2 = 25 + FO^2 \]

Теперь решим это уравнение и найдем значение \( EO \):

\[ EO^2 = FO^2 + 16 \quad \Rightarrow \quad EO = \sqrt{FO^2 + 16} \]

Теперь у нас есть значение \( EO \), и мы можем использовать его, чтобы найти длину половины диагонали \( AO \):

\[ AO^2 = 9 + EO^2 \quad \Rightarrow \quad AO = \sqrt{9 + EO^2} \]

Теперь, когда у нас есть значение половины диагонали \( AO \), мы можем найти длины сторон прямоугольника:

\[ AB = 2 \cdot AO \quad \text{и} \quad CD = 2 \cdot AO \]

Таким образом, периметр прямоугольника будет равен:

\[ P = 2 \cdot (AB + CD) = 2 \cdot (2 \cdot AO + 2 \cdot AO) = 8 \cdot AO \]

Подставим значение \( AO \) и решим уравнение:

\[ P = 8 \cdot \sqrt{9 + EO^2} \]

Таким образом, мы найдем периметр прямоугольника.