Question

Точка D лежить поза площиною трикутника АВС. На відрізках ВА, ВС і BD вибрано відповідно точки К, F і Е так, що ВКВА = BF: ВС=ВЕ: BD. Доведіть, що площини KEF і ADC паралельні

Answer 1

Ответ:

Для доведення, що площини KEF і ADC паралельні, нам потрібно показати, що вектори, які лежать у цих площинах, є колінеарними. Оскільки нам дано вирази для відношень довжин відрізків у завданні, ми можемо використовувати вектори для доведення цього твердження.

1. Давайте позначимо вектори AB, BC і BD через a, b і d відповідно.

2. Нехай BF: BC = BE: BD = k (де k - якесь дійсне число).

Тоді можемо записати вектори BF і BE як:

BF = k * BC

BE = k * BD

3. Тепер розглянемо вектори AK, CK і KD, де K - це точка на відрізку BD:

AK = AB - BK = AB - (1 - k) * BC

CK = BC

KD = BD - BK = BD - (1 - k) * BC

4. Розглянемо вектори KE, EF і FD, де E і F - це точки на відрізках BE і BF:

KE = EK = (1 - k) * BC

EF = BF - BE = (k - k) * BC = 0

FD = BD - BF = (1 - k) * BC

Тепер ми маємо вектори для відрізків KE, EF і FD, і ми бачимо, що вектор EF дорівнює нулю, оскільки F і E - одна й та ж точка (точка В). Це означає, що вектор KE і вектор FD є колінеарними, оскільки вони лежать на одній прямій, що проходить через точку В.

Объяснение:

Висновок-

Отже, площини KEF і ADC паралельні, оскільки вектори, що лежать в цих площинах, є колінеарними.

Answer 2

Для доведення паралельності площин KEF і ADC необхідно використовувати властивості подібних трикутників і відношення площ.

З означень, дано, що:

1. ВК / ВА = BF / ВС 2. ВЕ / BD = ВС / BD

Розглянемо площі трикутників BVA і BFC. Вони мають спільну висоту з вершиною B, тому співвідношення їх площ дорівнює співвідношенню відповідних основань:

Площа BFC / Площа BVA = BF / VA

З умови ми знаємо, що VK / VA = BF / VC, тому VK = (BF * VA) / VC.

Аналогічно, ми можемо розглянути площі трикутників BVD і BEC:

Площа BEC / Площа BVD = BE / BD

Ми також знаємо, що VE / BD = VC / BD, тому VE = (VC * BD) / BD = VC.

Тепер розглянемо площу трикутника ADC. Ми можемо поділити його на два трикутники: ABD і ACD. Тоді площа ADC буде сумою площ ABD і BCD.

З умов маємо, що:

ADC / ABD = (AD + DC) / BD

Але ми знаємо, що DC = VC і AD = VA + VK = VA + (BF * VA) / VC, тому:

ADC / ABD = (VA + VC) / BD

Але з умов ми також знаємо, що VC = BD * VE / VA, отже:

ADC / ABD = (VA + BD * VE / VA) / BD

З умови маємо, що VA * VK = BF * VA, тому VA * (BF * VA) / VC = BF * VA, звідки VC = BF * VA / VK. Підставляючи це значення, отримаємо:

ADC / ABD = (VA + BD * VE / VA) / BD = (VA + BD * (BF * VA) / (VA * BD)) / BD = (VA + BF) / VK

Ми показали, що ADC / ABD = (VA + BF) / VK, а BFC / BVA = BF / VK. Оскільки ці відношення рівні, то площини KEF і ADC паралельні.