Question

У прямокутнику ВСКМ бісектриса кута В утворює з діагоналлю ВК кут 20°. Знайдіть кути між діагоналями прямокутника.

Answer 1

Ответ:

Кути між діагоналями дорівнюють 50° і 130°.

Объяснение:

У прямокутнику ВСКМ бісектриса кута В утворює з діагоналлю ВК кут 20°. Знайдіть кути між діагоналями прямокутника.

Нехай BCKM — прямокутник, BE — бісектриса кута B, BK і МС - діагоналі, ВК∩МС=О. ∠ОВЕ=20°.

Знайдемо ∠МОВ і ∠ВОС.

Оскільки ABCD — прямокутник, то ∠В= 90°. Оскільки ВЕ — бісектриса кута В, то, ∠МВЕ = ∠СВЕ = 45°.

За аксиомою вимірювання кутів маємо:

∠МВО=∠МВЕ+∠ОВЕ=45°+20°=65°.

Так як ВО=МО (за властивістю прямокутника), то △МВО — рівнобедрений з основою МВ.

Отже, ∠ВМО=∠МВО=65° - як кути при основі рівнобедреного трикутника.

За теоремою про суму кутів трикутника знайдемо кут МОВ.

∠МОВ=180°-∠ВМО-∠МВО=180°-65°-65°=50°.

∠ВОС +∠МВО=180° - як суміжні, тому:

∠ВОС=180°-∠МВО=180°-50°=130°.

Отже, кути між діагоналями дорівнюють 50° і 130°.

#SPJ1

Answer 2

У прямокутнику ВСКМ обидві діагоналі перетинаються у точці О, і є бісектрисою кута ВОК. За умовою задачі, кут ВОК дорівнює 20°.

Позначимо кути між діагоналями прямокутника як α та β.

Оскільки ВОК є бісектрисою кута ВОК, то кути α та β мають однакову величину.

За властивостю бісектриси кута, кути між діагоналями прямокутника та кути при основі образують спільну пропорційність. Таким чином, у трикутнику ВОА маємо:

α : β = ВА : ВО (1)

Оскільки прямокутник ВСКМ є прямокутником, то діагоналі ВК та МС є розмірними хордами кола, описаного навколо цього прямокутника. Отже,

ВА = МС и ВО = КС.

Позначимо ВА (або МС) як а, а ВО (або КС) як b.

Отже, за формулою (1) маємо:

α : β = а : b (2)

Оскільки діагоналі прямокутника ВСКМ є хордами кола, описаного навколо цього прямокутника, то діагоналі перпендикулярні на хорди, що їх перетинають.

Розглянемо трикутник ВКО. У цьому трикутнику маємо:

Кут ВКО = 90° (оскільки діагоналі ВК та КО є перпендикулярними)

Кут ВОК = 20° (за умовою задачі)

Кут КОВ = 90° - 20° = 70° (оскільки сума кутів трикутника дорівнює 180°)

Розглянемо трикутник ВОС. У цьому трикутнику маємо:

Кут ВОС = 90° (оскільки діагоналі ВО та СО є перпендикулярними)

Кут ОВС = 70° (за умовою задачі)

Кут СОВ = 90° - 70° = 20° (оскільки сума кутів трикутника дорівнює 180°)

Отже, ми знайшли кути між діагоналями прямокутника: α = 70°, β = 70°.