Question

Кожне ребро похилої призми ABCA1B1C1, дорівнює а. Ребро AA1, утворює з кожним із ребер АВ і АС кут 45°. 1) Доведіть, що АА1 перепендикулярно ВС. 2) Знайдіть площу бічної поверхні призми.

Answer 1

Углы BAA1 и CAA1 равны, следовательно равны их проекции - ребро AA1 падает на биссектрису угла BAC.

ABC - равносторонний, биссектриса AL является высотой, AL⊥BC.

По теореме о трех перпендикулярах если прямая перпендикулярна проекции (BC⊥AL), то она перпендикулярна и наклонной, BC⊥AA1.

Боковые грани призмы - параллелограммы.

S(AA1B1B) =S(AA1C1C) =AA1*AC*sin45 =a^2 √2/2

BC⊥AA1, AA1||CC1 => BC⊥CC1, BB1C1C - квадрат.

S(BB1C1C) =BC*CC1 =a^2

S б.п. =2 a^2 √2/2 +a^2 = a^2 (√2+1)

Answer 2

1) Для доведення того, що АА1 перпендикулярно ВС, спочатку звернемось до властивості прямокутних трикутників.

За умовою, ребро aa1 утворює з кожним із ребер АВ і АС кут 45°. За означенням прямокутного трикутника, у такому трикутнику сума квадратів катетів дорівнює квадрату гіпотенузи. У нашому випадку, гіпотенузою прямокутного трикутника є ребро aa1, а катетами є ребра АВ і АС.

За властивістю прямокутних трикутників маємо: (AB)^2 + (AC)^2 = (AA1)^2

За умовою, ребра АВ і АС дорівнюють а. Тому маємо: a^2 + a^2 = (AA1)^2

Спрощуємо: 2a^2 = (AA1)^2

Тепер звернемось до властивості перпендикулярних ліній. Якщо пряма AB перпендикулярна до прямої BC, і пряма AC перпендикулярна до прямої BC, то пряма AB також перпендикулярна до прямої AC.

У нашому випадку, ребра АВ і АС перпендикулярні до ребра aa1, тому маємо: AB ┴ aa1 AC ┴ aa1

З останньої властивості заключаємо, що пряма АА1 перпендикулярна до прямої ВС.

Таким чином, доведено, що АА1 перпендикулярно ВС.

2) Для знаходження площі бічної поверхні призми, знайдємо площі всіх бокових граней і їх сумуємо.

Оскільки кожне ребро похилої призми abca1b1c1 дорівнює а, то кожна бокова грань має форму квадрата зі стороною а.

Отже, площа кожної бокової грані дорівнює a * a = a^2.

Оскільки у призмі є 4 бокові грані, то загальна площа бокової поверхні дорівнює: 4 * (a^2) = 4a^2.

Таким чином, площа бічної поверхні призми дорівнює 4a^2.