Question

У рівнобедрений прямокутний трикутник ABC з прямим кутом C вписано прямокутник EFKL так, що точки E і L належать катетам, а точки F і K - гіпотенузі. EF-FK=2 см. Знайдіть периметр прямокутника, якщо AB = 13 см

Answer 1

Спочатку розглянемо рівнобедрений прямокутний трикутник ABC. Відомо, що катети цього трикутника дорівнюють AB і AC (де AB = 13 см), і гіпотенуза дорівнює BC.

За теоремою Піфагора для прямокутного трикутника маємо:

BC² = AB² + AC²
BC² = 13² + AC²
BC² = 169 + AC²

Тепер розглянемо вписаний прямокутник EFKL. Для прямокутника відомо, що EF = FK = 2 см, так як EF - це одна з сторін прямокутника, що дорівнює відстані між катетами трикутника, а FK - це інша сторона, яка дорівнює відстані між гіпотенузою і висотою трикутника. Тобто, FK дорівнює відстані від F до середини гіпотенузи.

Ми знаємо, що AC = BC (оскільки трикутник ABC рівнобедрений), і отже, FK = BC/2. Також, ми знаємо, що FK = 2 см.

Отже, BC/2 = 2 см.

Ми можемо знайти BC:

BC = 2 * 2 см = 4 см.

Знаючи BC, ми можемо знайти значення AC за попередньою формулою:

BC² = 169 + AC²
4² = 169 + AC²
16 = 169 + AC²

AC² = 16 - 169
AC² = -153

Answer 2

Оскільки прямокутний трикутник ABC є рівнобедреним, то катети AE і AL мають однакову довжину.

Нехай довжина катету AE (і AL) дорівнює x см. Тоді EF = FK = x см (так як точки E і L належать до катетів).

За теоремою Піфагора маємо: EF^2 + FK^2 = EK^2, x^2 + x^2 = (x + 2)^2. 2x^2 = x^2 + 4x + 4, x^2 - 4x - 4 = 0.

Розв'язавши це квадратне рівняння, отримаємо 2 розв'язки, один з яких відповідає розв'язку x > 0: x = (4 + √20) / 2 = 4 + √5 ≈ 6,236 см.

Тоді периметр прямокутника EFKL складається з довжин гіпотенузи FK і двох довжин катетів AE і AL: Периметр = EF + FK + FK + LK = 2x + 2x + (x + 2) + (x + 2) = 6x + 4 = 6(4 + √5) + 4 = = 24 + 6√5 + 4 = 28 + 6√5 ≈ 39,419 см.

Отримали, що периметр прямокутника EFKL дорівнює приблизно 39,419 см.