Question

17. На плоскости проведены 17 прямых, никакие две из которых не параллельны, и никакие три не пересекаются в одной точке. После отметили всевозможные точки пересечения этих прямых. Сколько всего точек отметили?​

Answer 1

Ответ:

136

Объяснение:

Количество прямых, которые пересекает одна прямая:

17 - 1 = 16

Удвоенное количество точек пересечения*:

17 · 16 = 272

Количество точек пересечения:

272 : 2 = 136

*почему удвоенное: каждую точку пересечения посчитали два раза для каждой из двух пересекающихся прямых.

Answer 2

Для решения этой задачи используем сочетания. У нас есть 17 прямых, и мы хотим найти количество точек пересечения между ними.

Давайте рассмотрим две прямые. Две прямые пересекаются в одной точке, если они не параллельны. Из условия задачи следует, что никакие две прямые не параллельны, поэтому для любых двух прямых можно провести ровно одну точку пересечения.

Теперь мы можем выбрать 2 прямые из 17 для поиска точки пересечения. Это можно сделать C(17, 2) способами (где C(n, k) обозначает число сочетаний). Итак, количество точек пересечения для всех пар прямых равно C(17, 2).

C(17, 2) = (17 * 16) / (2 * 1) = 136 / 2 = 68.

Теперь мы знаем, что для каждой пары прямых существует одна точка пересечения. Но в задаче также сказано, что никакие три прямые не пересекаются в одной точке, поэтому мы не можем добавить дополнительные точки пересечения, связанные с тройными пересечениями.

Итак, всего отмечено 68 точек пересечения между этими 17 прямыми.