Question

Помогите пожалуйста! Угол параллелограмма равен углу между его диагоналями. Найдите длину каждой диагонали, если стороны параллелограмма равны 4 корня из 2 и 9 корней из 2.

Answer 1

Ответ: 8 и 18

Объяснение:

Обозначим вершины параллелограмма буквами $A, B, C, D$ как показано на рисунке

Пусть $AC\cap BD=O$

$\angle BAD = \angle AOB$ по условию

$\triangle ABD \sim \triangle ABO$ по двум углам ($\angle ABD$ - общий)

$\dfrac{BD}{AB}=\dfrac{AB}{BO} \Leftrightarrow \dfrac{BD}{4\sqrt2}=\dfrac{4\sqrt2}{0.5BD} \Leftrightarrow 0.5BD^2=32 \Leftrightarrow BD^2=64 \Leftrightarrow BD=8$

$\dfrac{AO}{AD}=\dfrac{AB}{BD} \Leftrightarrow \dfrac{AO}{9\sqrt2}=\dfrac{4\sqrt2}{8} \Leftrightarrow AO=9 \Leftrightarrow AC=18$

Answer 2

Пусть ABCD - параллелограмм, где AB и CD - его стороны, а AC и BD - его диагонали. Также пусть угол BAD = углу ABC = α.

По условию, угол параллелограмма равен углу между его диагоналями, то есть ∠BAC = ∠BCD = α.

Из треугольника ABC с известными длинами сторон AB и BC и известным углом α можно найти длину диагонали AC с помощью закона косинусов: AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 * AB * BC * cos(α).

Заметим, что треугольник BCD имеет те же стороны и угол α, поэтому его диагональ BD также имеет длину AC.

Итак, чтобы найти длину диагонали AC, подставим известные значения: AC^2 = (4√2)^2 + (9√2)^2 - 2 * 4√2 * 9√2 * cos(α) = 16 * 2 + 81 * 2 - 72 * 2 * cos(α) = 32 + 162 - 144 * cos(α) = 194 - 144 * cos(α).

Для нахождения длины диагонали необходимо знать значение cos(α). Оно может быть найдено, зная, что сумма углов в параллелограмме равна 360 градусов.

В параллелограмме противолежащие углы равны, поэтому угол BCD = углу CAB = 180 - α. Из этого следует, что угол ACD = угол ABC = 180 - α.

Суммируя углы треугольника ADC, получаем: 180 = α + 180 - α + угол между диагоналями. То есть угол между диагоналями равен 0 градусов.

Таким образом, cos(0) = 1, и мы можем найти длину диагонали AC: AC^2 = 194 - 144 * cos(0) = 194 - 144 = 50, AC = √50 = 5√2.

Так как диагонали AC и BD имеют одинаковую длину, BD также равна 5√2. Итак, длина каждой диагонали параллелограмма равна 5√2.

Надеюсь, это поможет вам! Если у вас возникнут еще вопросы, пожалуйста, сообщите.