Question

Доведіть, що коли через дану точку до кола проведено дві дотичні, то відрізки дотичних, які сполучають дану точку з точками дотику, piвнi

Answer 1

Нехай AB та AC — дотичні до кола з центром O. Потрібно довести, що AB = AC та OA є бісектрисою кута A.

Трикутники OBA та OCA — прямокутні, оскільки дотичні перпендикулярні до радіусів кола у точках B та C. Сторона OA — спільна. Катети OB та OC рівні як радіуси одного й того самого кола. Трикутники рівні за гіпотенузою та катетом, звідси рівні й катети AB та AC, а також кути BAO і CAO, тобто OA ділить кут навпіл.

Answer 2

Коли через дану точку до кола проведено дві дотичні, то відрізки дотичних, які сполучають дану точку з точками дотику, є рівними. Це можна довести за допомогою геометричних властивостей кола та дотичних.

Властивості кола та дотичних

1. Дотична до кола є перпендикулярною до радіуса, проведеного до точки дотику. 2. Радіус, проведений до точки дотику, є перпендикулярним до дотичної.

Доведення

Нехай A та B - точки дотику, а P - дана точка, через яку проведено дві дотичні до кола. Нехай AP та BP - відрізки дотичних, які сполучають точку P з точками дотику A та B відповідно.

Оскільки AP та BP є дотичними до кола, то за властивістю 1, вони є перпендикулярними до радіусів, проведених до точок дотику A та B відповідно.

Також, оскільки AP та BP є дотичними до кола, то за властивістю 2,