Question

ABCA1B1C1 - правильная треугольная призма ,всё ребра которой равны 16 .Найдите площадь сечения призмы плоскостью ,проходящей через прямую АВ и середину ребра СС1 .

Answer 1

Ответ:

128

Объяснение:

1) Пусть точка D - середина ребра СС₁, а точка Е - середина ребра АВ.

ΔAСD = BCD (по двум катетам), следовательно, АD = BD и ΔАDB - равнобедренный, в силу чего DE как медиана равнобедренного треугольника перпендикулярна АВ.

2) Согласно 4-ому признаку равенства прямоугольных треугольников ΔВED = ΔВCD, т.к. катет ВЕ = катету DC= 8, а гипотенуза ВD у этих треугольников является общей стороной.

Следовательно, катет ЕD = катету ВС = 16.

3) Площадь сечения плоскостью, проходящей через прямую АВ и середину ребра СС₁, - это площадь треугольника ABD, которая равна половине произведения основания АВ на высоту ЕD:

S = АВ · ЕD : 2 = 16 · 16 : 2 = 256 : 2 = 128

Ответ: 128

Answer 2

Параметры данной треугольной призмы: все ее ребра равны 16. Построим треугольную призму на плоскости XY.

Зададим координаты вершинам треугольника ABC. Обозначим вершину C1, которая является серединой ребра CC1.

Пусть A(0, 0, 0), B(16, 0, 0), C(8, 14.071, 0). Также C1(8, 14.071, 8), так как это середина ребра CC1.

Для нахождения площади сечения призмы плоскостью, проходящей через прямую АВ и середину ребра СС1, необходимо найти точки пересечения этой плоскости с ребрами призмы.

Прямая АВ проходит по оси X, поэтому плоскость, проходящая через данную прямую, будет параллельна плоскости XY.

Найдем точку пересечения плоскости с ребром С1С. Для этого расположим точку С1(8, 14.071, 8) и вектор Н(16, 0, 0). Запишем параметрические уравнения прямой:

x = 8 + 16t, y = 14.071 + 0t, z = 8 + 0t,

где t - параметр.

Так как плоскость параллельна плоскости XY, то координата z для точки пересечения будет равна 0:

8 + 0t = 0, t = -8/16 = -0.5.

Подставим t = -0.5 в параметрические уравнения прямой:

x = 8 + 16*(-0.5) = 8 - 8 = 0, y = 14.071 + 0*(-0.5) = 14.071.

Таким образом, точка пересечения плоскости с ребром С1С имеет координаты (0, 14.071, 0).

Аналогично найдем точку пересечения плоскости с ребром BC:

x = 16, y = 0 + 14.071*t, z = 0,

где t - параметр.

Так как плоскость параллельна плоскости XY, координата z для точки пересечения будет равна 0:

0 = 0, t = 0.

Подставим t = 0 в параметрические уравнения прямой:

x = 16, y = 0 + 14.071*0 = 0, z = 0.

Таким образом, точка пересечения плоскости с ребром BC имеет координаты (16, 0, 0).

Итак, получаем, что плоскостью, проходящей через прямую АВ и середину ребра СС1, проходят прямые с конечными точками (0, 14.071, 0) и (16, 0, 0).

Для нахождения площади сечения призмы этой плоскостью можно построить треугольник на плоскости XZ, используя точки пересечения прямых с осью Z. Поскольку точки пересечения по X имеют координаты 0 и 16, а по Z - 0, образующие линии на плоскости XZ будут параллельны осям X и Z. Это значит, что треугольник ABC будет ортогональным треугольником на плоскости XZ.

Получается, что площадь сечения призмы равна площади треугольника ABC на плоскости XZ.

Для нахождения площади треугольника ABC воспользуемся формулой для площади треугольника по координатам его вершин:

S = 0.5 * |x1 * (y2 - y3) + x2 * (y3 - y1) + x3 * (y1 - y2)|,

где xi и yi - координаты вершин треугольника.

Подставим значения координат вершин:

S = 0.5 * |0 * (14.071 - 0) + 16 * (0 - 14.071) + 8 * (14.071 - 0)|, S = 0.5 * |-16 * 14.071 + 8 * 14.071|, S = 0.5 * |-224.496 + 112.248|, S = 0.5 * |-112.248|, S = 56.124.

Таким образом, площадь сечения призмы плоскостью, проходящей через прямую АВ и середину ребра СС1, равна 56.124.