Question

Сторона АВ параллелограмма АВСD принадлежит плоскости Р, а сторона ВС, равная а, составляет с этой плоскостью угол α (альфа). Найти синус угла наклона диагонали BD к плоскости Р, если длина этой диагонали равна d.

Answer 1

Сторона АВ параллелограмма АВСD принадлежит плоскости Р, а сторона ВС, равная а, составляет с этой плоскостью угол α (альфа). Найти синус угла наклона диагонали BD к плоскости Р, если длина этой диагонали равна d.

Answer 2

Пусть \(\vec{AB}\) и \(\vec{BC}\) - стороны параллелограмма \(ABCD\), где \(\vec{AB}\) принадлежит плоскости \(P\). Длина диагонали \(BD\) равна \(d\).

Так как стороны \(AB\) и \(BC\) параллельны, то вектор \(\vec{BC}\) можно представить как \(\vec{BC} = \vec{AB} + \vec{AC}\). Поскольку \(\vec{AB}\) лежит в плоскости \(P\), и стороны параллелограмма параллельны, то и вектор \(\vec{BC}\) также лежит в плоскости \(P\).

Теперь рассмотрим угол \(\alpha\) между стороной \(BC\) и плоскостью \(P\). Используем формулу для синуса угла между вектором и плоскостью:

\[ \sin{\alpha} = \frac{|\vec{BC} \cdot \vec{n}|}{|\vec{BC}| |\vec{n}|}, \]

где \(\vec{n}\) - нормальный вектор плоскости \(P\).

Поскольку \(\vec{BC}\) лежит в плоскости \(P\), векторное произведение \(\vec{BC}\) и \(\vec{n}\) равно нулю: \(\vec{BC} \times \vec{n} = 0\). Это означает, что скалярное произведение \(\vec{BC} \cdot \vec{n}\) также равно нулю.

Таким образом, \(\sin{\alpha} = 0\), и угол наклона диагонали \(BD\) к плоскости \(P\) равен \(0\).