Question

СРОЧНО ДАЮ 25 БАЛЛОВ 1. На стороне AC треугольника АВС отмечена точка D.Докажите, что если радиусы окружностей, описанных около треугольников ABD и CBD, равны, то AB = BC.2. Найдите радиус окружности, вписанной в равнобедренный треугольник с боковой стороной, равной а, и основанием, равным b.3. На стороне BC треугольника АВС отмечена точка D. Найдите сторону BC, если расстояние между центрами окружностей, описанных около треугольников ABD и ACD, равно d и угол ADB =a .4. В прямоугольный треугольник с катетами AC = 7 и ВС=24 вписана окружность. Найдите расстояние от её центра до вершины А.​

Answer 1

1) По теореме синусов

AB/sin(BDA) =2R =BC/sin(BDC)

BDA+BDC=180 (смежные) => sin(BDA)=sin(BDC)

=> AB=BC

2)

$p=\frac{(a+a+b)}{2}=a+\frac{b}{2}\\\\S=\sqrt{p(p-b)(p-a)(p-a)}=\frac{b}{2}\sqrt{p(p-b)}\\\\r=\frac{S}{p}=\frac{b}{2}\sqrt{\frac{p-b}{p}}=\frac{b}{2}\sqrt{\frac{a-\frac{b}{2}}{a+\frac{b}{2}}}$

4) В любом треугольнике

Отрезки касательных из одной точки равны.

AK=AL, BL=BN, CN=CK

полупериметр p =AL+BL+CK =AB+CK => CK =p-AB

В прямоугольном треугольнике

CKON - квадрат, CK =OK =r =p-AB

По т Пифагора AB=25

CK =OK =(7+24-25)/2 =3

AK =7-3 =4

AO =√(AK^2 +OK^2) =5

Answer 2

1. Для доказательства данного утверждения воспользуемся свойством описанных окружностей в треугольнике. Если радиусы окружностей, описанных около треугольников ABD и CBD, равны, то по свойству описанных четырехугольников, углы BDA и BDC будут равными, так как они будут опираться на равные дуги AB и BC соответственно. Из этого следует, что треугольники ABD и CBD равнобедренные, и AB=BD и BC=BD. Следовательно, AB=BC.

2. Для нахождения радиуса вписанной окружности в равнобедренный треугольник воспользуемся формулой радиуса вписанной окружности: r = (S / p), где S - площадь треугольника, p - полупериметр треугольника. В равнобедренном треугольнике боковая сторона а является равным радиусом окружности, вписанной в него. А основание b можно найти по формуле b = 2r * tg(α / 2), где α - угол при основании треугольника. Зная значения a и b, можно вычислить радиус вписанной окружности.

3. Найдем сторону BC, зная что расстояние между центрами окружностей равно d и угол ADB равен a. По теореме синусов в треугольнике ABD, имеем sin(a) = d / AB. Также, по теореме синусов в треугольнике ACD, имеем sin(180 - a) = d / AC. Поскольку sin(180 - a) = sin(a), получаем d / AB = d / AC. Кроме того, треугольники ABD и DBC равны, так как угол ADB = угол DBC (по свойству описанных окружностей). Это означает, что AB = BC, и следовательно AC = 2d.

4. Расстояние от центра вписанной окружности до вершины треугольника можно найти, рассмотрев прямоугольный треугольник, один катет которого равен радиусу окружности, а гипотенуза – расстоянию от центра окружности до вершины треугольника. По теореме Пифагора, гипотенуза равна √(ac^2 + bc^2), где ac и bc – катеты треугольника.