Question

Площадь треугольника на 15 см2 больше площади подобного треугольника. Периметр меньшего треугольника относится к периметру большего треугольника как 2 : 3. Определи площадь меньшего из подобных треугольников. Ответ: S= см2.

Answer 1

Ответ:

5x=60

x=12

Пошаговые действия:

S подобных треугольников относятся как коэффициент подобия в квадрате.

Соответственно получаем следующее:

k=DF rac 23=>

=> S относятся как: DF rac 49

Пусть х - Sмал., тогда x+15 - большьшого.

Тогда DF rac49 = DF racxx 15

Отсюда получаем: 4x+60=9x

5x=60

x=12

Благодарю за вопрос

Answer 2

Пусть S1 и S2 - площади меньшего и большего треугольников соответственно. Тогда по условию задачи имеем следующее уравнение: S2 = S1 + 15

Также известно, что отношение периметров двух подобных фигур равно соотношению их сторон. В данном случае это отношение равно 2/3: P1/P2 = 2/3

Так как периметр треугольника вычисляется по формуле P = a + b + c, где a, b и c - длины сторон треугольника, то: (a1 + b1 + c1) / (a2 + b2 + c2) = 2/3

Поскольку треугольники подобны, их стороны пропорциональны: a1/a2 = b1/b2 = c1/c2

Пусть x - коэффициент пропорциональности. Тогда: a1 = xa2 b1 = xb2 c1 = xc2

Подставляя эти значения в уравнение отношения периметров, получаем: (xa2 + xb2 + xc2) / (a2 + b2 + c2) = 2/3

Домножаем обе части уравнения на (a2 + b2 + c2): xa2 + xb2 + xc2 = 2/3 * (a2 + b2 + c2)

Теперь рассмотрим площади треугольников. Площадь треугольника можно вычислить по формуле S = (1/2) * a * h, где a - длина основания треугольника, h - высота, опущенная на это основание. В данном случае треугольники имеют общую основание a2, поэтому площади треугольников пропорциональны: S1/S2 = h1/h2

Так как отношение высот треугольников равно отношению сторон (так как треугольники подобны), то h1/h2 = a1/a2 = x.

Подставляя значение этого отношения в уравнение площадей, получаем: S1/S2 = x

Теперь, используя ранее полученные уравнения, можем выразить х через S2: S1/S2 = x S1 = S2 * x S2 + 15 = S2 * x

Решим это уравнение относительно x: S2 * x = S2 + 15 S2 * x - S2 = 15 S2 * (x - 1) = 15 x - 1 = 15/S2 x = 15/S2 + 1

Подставляем это значение x в уравнение отношения периметров: xa2 + xb2 + xc2 = 2/3 * (a2 + b2 + c2) (15/S2 + 1) * a2 + (15/S2 + 1) * b2 + (15/S2 + 1) * c2 = 2/3 * (a2 + b2 + c2)

Упростим уравнение, умножая все его части на 3S2: 3 * (15 + S2) * (a2 + b2 + c2) = 2 * S2 * (a2 + b2 + c2)

Раскрыв скобки, получим: 45 * (a2 + b2 + c2) + 3S2 * (a2 + b2 + c2) = 2S2 * (a2 + b2 + c2)

Сократим на (a2 + b2 + c2), так как это значение не равно нулю (площади треугольников ненулевые): 45 + 3S2 = 2S2

Перенесем все слагаемые с S2 влево: 2S2 - 3S2 = -45 -S2 = -45 S2 = 45

Теперь найдем значение x: x = 15/S2 + 1 = 15/45 + 1 = 1 + 1 = 2

Подставляем найденные значения в уравнение площадей: S1 = S2 * x = 45 * 2 = 90

Ответ: площадь меньшего треугольника равна 90 квадратных сантиметров (см2).