Question

Прямые АВ АС и АD попарно перпендикулярны найти длину отрезка СD если AD=а, ВС=в, ВD=c​

Answer 1

Ответ:

$\boxed{ DC = \sqrt{2a^{2} + b^{2} - c^{2}} }$

Объяснение:

Дано: AC ⊥ AB, AC ⊥ AD, AD ⊥ AB, AD = а, ВС = b, ВD = c

Найти: CD - ?

Решение:

Взаимно перпендикулярные АВ, АС и АD образуют пирамиду ABCD. Тогда по теореме Пифагора для прямоугольных треугольников

ΔABC, ΔADC, ΔABD:

$\left \{\begin{array}{l} AB^{2} + AC^{2} = BC^{2} \\ AB^{2} + AD^{2} = BD^{2} \\ AD^{2} + AC^{2} = DC^{2} \end{array} \right$  $\left \{\begin{array}{l} AB^{2} + AC^{2} = b^{2} \\ AB^{2} + a^{2} = c^{2} \\ a^{2} + AC^{2} = DC^{2} \end{array} \right$ $\left \{\begin{array}{l} AB^{2} + AC^{2} = b^{2} \\ AB^{2} = c^{2} - a^{2} \\ a^{2} + AC^{2} = DC^{2} \end{array} \right$

$\displaystyle \left \{ {{ c^{2} - a^{2} + AC^{2} = b^{2} } \atop { a^{2} + AC^{2} = DC^{2} }} \right.$ $\displaystyle \left \{ {{ AC^{2} = a^{2} + b^{2} - c^{2} } \atop { a^{2} + AC^{2} = DC^{2} }} \right \Longrightarrow DC^{2} = a^{2} + a^{2} + b^{2} - c^{2} = 2a^{2} + b^{2} - c^{2}$

$DC^{2} = 2a^{2} + b^{2} - c^{2} \Longrightarrow \boxed{ DC = \sqrt{2a^{2} + b^{2} - c^{2}} }$

Answer 2

Для решения этой задачи воспользуемся следующим свойством перпендикулярных прямых: если прямые AB и CD перпендикулярны, то прямая AC является высотой треугольника ABD, а прямая AD является высотой треугольника CBD.

По условию задачи, известны длины отрезков ad=a, ВС=в, а Вd=c.

Воспользуемся теоремой Пифагора для треугольника ABD: AB^2 = AD^2 + BD^2

Так как прямые AB и CD перпендикулярны, прямая AC является высотой треугольника ABD, а значит AD^2 = a^2 - BD^2.

Воспользуемся теоремой Пифагора для треугольника BCD: BC^2 = BD^2 + CD^2

Из этого следует, что CD^2 = BC^2 - BD^2.

Теперь, заменим в этом выражении BD^2 на a^2 - AD^2: CD^2 = BC^2 - (a^2 - AD^2) CD^2 = BC^2 - a^2 + AD^2

Таким образом, мы получили выражение для длины отрезка Cd, используя известные значения a, в и c: Cd = sqrt(BC^2 - a^2 + AD^2)

Для вычисления длины отрезка Cd необходимо знать значения BC и AD. Если они не заданы, то невозможно определить точное значение длины отрезка Cd.