Question

Знайдить косинус кутя миж векторамы a и b,якщо вектори m=3a-b n=a+5b перпендыикулярни a=5 b=3

Answer 1

Найдите косинус угла между векторами a и b, если векторы m = 3a-b ,

n = a + 5b перпендикулярные, | a | = 5, | b | = 3.

Объяснение:

$cos(a,b)=\frac{a*b}{|a|*|b|}$

Т.к.  m⊥n , то m*n=0, поэтому  (3a-b)*(a+5b)=0 ,

3а²+14ab-5b²=0 ,  14ab =5b² -3а²  ,

$a*b=\frac{5b^{2} -3a^{2} }{14} ,\\ a*b=\frac{5*3^{2} -3*5^{2} }{14} =\frac{45-75}{14}=-\frac{30}{14} =-\frac{15}{7}$,

$cos(a,b)=-\frac{\frac{15}{7} }{5*3}=-\frac{1}{7}$.

Answer 2

Для того, щоб знайти косинус кута між векторами a і b, коли вектори m = 3a - b та n = a + 5b є перпендикулярними, можна скористатися формулою для косинуса кута між векторами через їх скалярний добуток та модулі (довжини) векторів:

$$\cos(\theta) = \frac{a \cdot b}{|a| \cdot |b|}$$

Оскільки вектори m та n є перпендикулярними, їх скалярний добуток дорівнює нулю:

$$m \cdot n = (3a - b) \cdot (a + 5b) = 0$$

Розкриваючи дужки, отримаємо:

$$3a \cdot a + 15a \cdot b - b \cdot a - 5b \cdot b = 0$$

З урахуванням того, що скалярний добуток вектора на самого себе дорівнює квадрату його модуля, маємо:

$$3|a|^2 + 15a \cdot b - |b|^2 = 0$$

Підставляючи дані модулі векторів a і b (де a = 5 і b = 3), отримаємо:

$$3(5)^2 + 15a \cdot b - (3)^2 = 0$$

$$75 + 15a \cdot b - 9 = 0$$

$$15a \cdot b = -66$$

$$a \cdot b = -\frac{66}{15}$$

Тепер можемо знайти косинус кута між векторами a і b, використовуючи їх модулі:

$$\cos(\theta) = \frac{-\frac{66}{15}}{5 \cdot 3}$$

$$\cos(\theta) = -\frac{66}{15 \cdot 5 \cdot 3}$$

$$\cos(\theta) = -\frac{66}{225}$$

$$\cos(\theta) = -\frac{22}{75}$$

Отже, косинус кута між векторами a і b дорівнює -\frac{22}{75}. Це означає, що кут між векторами більше 90 градусів, оскільки косинус від'ємний.