Question

Из точки A к окружности проведены две касательные: AB и AC (B и С – точки касания). Определите градусную меру дуги BC, если расстояние от точки A до центра окружности в 2 раза больше радиуса окружности.

Answer 1

Ответ:

∪BC = 120°

Объяснение:

Дано: AB, AC - касательные, O - центр окружности, AO = 2OB = 2OC.

Найти: ∪BC - ?

Решение: Так как по теореме радиусы перпендикулярны к касательным, то OB ⊥ AB, OC ⊥ AC. Треугольник ΔBOA = ΔCOA(OB ⊥ AB, OC ⊥ AC) по двум катетам так как OB = OC как радиусы, AO - общая. Рассмотрим прямоугольный треугольник ΔBOA. $\cos \angle BOA = \dfrac{BO}{OA} = \dfrac{BO}{2 BO} = \dfrac{1}{2} \Longrightarrow \angle BOA = \arccos(0,5) = 60^{\circ}$.

Так как треугольник ΔBOA = ΔCOA, то соответствующие элементы треугольников равны, тогда угол ∠BOA = ∠COA = 60°.

Угол ∠BOC = ∠BOA + ∠COA = 60° + 60° = 120°. Градусная мера дуги равна центральному углу на который она опирается, тогда ∪BC = ∠BOC = 120°.

Answer 2

Пусть радиус окружности равен R, а расстояние от точки a до центра окружности равно 2R.

Так как ab и ac являются касательными окружности, то они перпендикулярны радиусам, проведенным из центра окружности к точкам касания. То есть, угол b и угол c равны 90 градусам.

Также, поскольку ab и ac являются касательными окружности, то соответствующие дуги ab и ac равны по градусной мере.

Далее, так как расстояние от точки a до центра окружности в 2 раза больше радиуса окружности, то основания перпендикуляров ab и ac делят отрезки aC и aB в соотношении 1:2.

Пусть угол aCb = x. Тогда угол aBc = 180 - x (сумма углов треугольника aCb равна 180 градусам).

Так как дуги ab и ac равны, а градусная мера дуги ab равна углу aBc, то градусная мера дуги ac также равна углу aBc.

Тогда, углы aCb и aBc равны x и 180 - x соответственно. Так как треугольник abC является прямоугольным, то сумма углов данного треугольника равна 180 градусам.

То есть, x + 90 + 180 - x = 180.

Раскрывая скобки и сокращая, получим:

x + 270 - x = 180.

270 = 180.

Уравнение оказалось ложным, что противоречит начальным условиям задачи.

Таким образом, данная задача не имеет решения.