Question

В четырехугольнике сумма углов прилежащих к каждой из двух соседних сторон равна 180. Докажите что этот четырехугольник является параллелограммом

Answer 1

Это отвечает свойствам параллелограмма:

Параллелограммом называется четырехугольник, у которого противолежащие стороны попарно параллельны.

Свойства параллелограмма

противолежащие стороны равны;противоположные углы равны;
диагонали точкой пересечения делятся пополам;
сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна 180°;
сумма квадратов диагоналей равна сумме квадратов всех сторон:

d12+d22=2(a2+b2).

Answer 2

Для доказательства, что данный четырехугольник является параллелограммом, мы можем воспользоваться свойством параллелограмма, согласно которому противоположные стороны параллелограмма равны и параллельны.

Доказательство:

Пусть ABCD - данный четырехугольник, где AB и CD являются параллельными сторонами, а BC и AD - также параллельными сторонами. Мы должны доказать, что AC является диагональю, которая делит четырехугольник на два равных треугольника.

Доказательство равенства сторон:

1. По условию, сумма углов прилежащих к каждой из двух соседних сторон равна 180 градусам. Это означает, что ∠ABC + ∠BCD = 180° и ∠BCD + ∠CDA = 180°.

2. Равенство углов ∠ABC + ∠BCD = 180° может быть записано как ∠ABC = 180° - ∠BCD.

3. Аналогично, равенство углов ∠BCD + ∠CDA = 180° может быть записано как ∠CDA = 180° - ∠BCD.

4. Так как ∠ABC = ∠CDA (см. пункт 2 и 3), мы можем записать, что ∠ABC = ∠CDA = α (пусть α будет общей мерой этих углов).

5. Теперь мы можем заключить, что угол ∠BAC равен ∠BDC. По свойству параллелограмма, противоположные углы равны.

Доказательство параллельности сторон:

1. Из пункта 5 предыдущего доказательства мы знаем, что угол ∠BAC равен ∠BDC. Также известно, что ∠ABC = ∠CDA = α.

2. Углы ∠BAC и ∠ABC являются внутренними углами треугольника ABC, и они суммируются в 180° (по свойству треугольника).

3. Аналогично, ∠BDC и ∠CDA являются внутренними углами треугольника BCD, и они также суммируются в 180°.

4. Из пунктов 2 и 3 мы можем записать, что ∠BAC + ∠ABC = 180° и ∠BDC + ∠CDA = 180°.

5. Так как ∠BAC = ∠BDC (из пункта 5 предыдущего доказательства), мы можем заключить, что ∠ABC = ∠CDA = α.

6. Из пункта 5 и 6 мы можем заключить, что противоположные стороны AB и CD параллельны, и противоположные стороны BC и AD также параллельны.

Доказательство равенства диагоналей:

1. Мы уже доказали, что противоположные стороны AB и CD параллельны, и противоположные стороны BC и AD также параллельны.

2. Заметим, что отрезок AC является диагональю четырехугольника ABCD.

3. Так как противоположные стороны параллелограмма равны и параллельны, мы можем заключить, что диагональ AC разделяет четырехугольник ABCD на два равных треугольника: ABC и CDA.

Вывод:

Из доказательства выше следует, что данный четырехугольник ABCD является параллелограммом, так как его противоположные стороны равны и параллельны, а его диагональ AC делит его на два равных треугольника.