Question

В окружности проведены две хорды AB и CD, пересекающиеся в точке M. Известно, что AB=15 см, CM=9 см, MD=4 см, а расстояние между точками A и C равно 11 см. Найдите острый угол между этими хордами. с решением пожалуйста)

Answer 1

По теореме о произведении отрезков хорд

AM*MB =CM*MD

AM=x, MB=y

xy =9*4 =36

x+y =15

t^2 -15t +36 =0 (по ф Виета) => t ={3; 12}

△ACM, т косинусов

AC^2 =AM^2 +CM^2 -2CM*AM*cos(AMC)

1) AM=3, MB=12

121 =9 +81 -54*cos(AMC) => cos(AMC) = -31/54 (тупой)

тогда смежный ∠AMD острый: cos(AMD) =31/54

∠AMD ~54,96°

2) AM=12, MB=3

121 =144 +81 -216*cos(AMC) => cos(AMC) =104/216 =13/27

∠AMC ~61,22°

Answer 2

Давай разберемся с этой геометрической задачей. Обозначим через \(O\) центр окружности, а через \(R\) её радиус. Также введем обозначения: \(AC = x\) (расстояние между точками \(A\) и \(C\)), \(BC = y\) (расстояние между точками \(B\) и \(C\)).

Так как \(AC = 11\,см\), а \(CM + MD = 9 + 4 = 13\,см\), то получаем, что \(AM = AC - CM = 11 - 9 = 2\,см\), и \(BM = BC + CM + MD = y + 13\,см\).

Теперь применим теорему о пересекающихся хордах. Утверждается, что произведение длин отрезков хорд, порожденных пересекающимися хордами внутри окружности, равно. То есть \(AM \cdot BM = CM \cdot DM\).

Подставляем известные значения: \[2 \cdot (y + 13) = 9 \cdot 4.\]

Решая уравнение, находим \(y\): \[2y + 26 = 36,\] \[2y = 10,\] \[y = 5.\]

Теперь мы знаем, что \(BC = 5\,см\). Также, учитывая, что \(AB = 15\,см\), мы можем найти \(AC\) через теорему Пифагора в прямоугольном треугольнике \(ABC\): \[AC^2 = AB^2 - BC^2,\] \[AC^2 = 15^2 - 5^2,\] \[AC^2 = 225 - 25,\] \[AC^2 = 200,\] \[AC = 10\sqrt{2}\,см.\]

Теперь у нас есть все необходимые данные. Мы можем использовать тригонометрический подход для нахождения угла. Рассмотрим треугольник \(ACM\):

\[\cos(\angle AMC) = \frac{AC}{AM}.\]

Подставляем значения: \[\cos(\angle AMC) = \frac{10\sqrt{2}}{2} = 5\sqrt{2}.\]

Теперь находим угол \(\angle AMC\): \[\angle AMC = \arccos(5\sqrt{2}).\]

Это значение можно выразить в градусах, если нужно.