Question

Основою піраміди є рівнобедрений трикутник з основою 12 і кутом 120 градусів. Усі бічні ребра піраміди утворюють з її висотою кут 60 градусів. Знайдіть об'єм піраміди. ДАМ 100 БАЛОВ ЗА ЭТО ​

Answer 1

Ответ:

Объем пирамиды равен 16√3 ед.³

Объяснение:

Основой пирамиды является равнобедренный треугольник с основанием 12 и углом 120 градусов. Все боковые ребра пирамиды образуют с ее высотой угол 60 градусов. Найдите объем пирамиды.

Дано: КАВС - пирамида;

ΔАВС - равнобедренный;

АС = 12 - основание;

∠АВС = 120°;

∠АКО = ∠ВКО = ∠СКО = 60°

Найти: V пирамиды.

Решение:

Объем пирамиды равен:

$\displaystyle \bf V=\frac{1}{3}S_{OCH}\cdot h$ ,

где S - площадь основания, h - высота пирамиды.

• Если все боковые ребра образуют равные углы с высотой пирамиды, то основание высоты является центром описанной окружности.

Так как данный треугольник тупоугольный, то центр описанной окружности лежит вне этого треугольника.

1. Найдем площадь основания.

Рассмотрим ΔАВС - равнобедренный.

Пусть АВ = ВС = а, ∠АВС = 120°; АС = 12.

• Теорема косинусов: квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других его сторон минус удвоенное произведение этих сторон, умноженное на косинус угла между ними.

$\displaystyle AC^2=AB^2+BC^2-2AB\cdot BC\cdot cos\;120^0\\\\144=a^2+a^2-2a\cdot a\cdot cos(180^0 - 60^0)\\\\cos(180^0 - 60^0) = -cos\;60^0=-\frac{1}{2}\\ \\2a^2+2a^2\cdot\frac{1}{2} =144\\\\3a^2=144\\\\a^2=48\\\\a=4\sqrt{3}$

⇒ AB = BC = 4√3 (ед.)

• Площадь треугольника равна половине произведения сторон на синус угла между ними.

$\displaystyle S(ABC)=\frac{1}{2}AB\cdot BC\cdot sin\;120^0 = \frac{1}{2}\cdot 48\cdot \frac{\sqrt{3} }{2}=12\sqrt{3}$  (ед.²)

2. Найдем высоту пирамиды.

Отношение стороны треугольника к синусу противолежащего угла равно двум радиусам описанной около этого треугольника окружности.

$\displaystyle \frac{AC}{sin\;120^0}=2R\\ \\\frac{12\cdot2}{\sqrt{3} } =2R\\\\R=\frac{12}{\sqrt{3} }=4\sqrt{3}$ (ед.)

Рассмотрим ΔВКО - прямоугольный.

∠ВКО = 60°

$\displaystyle \frac{BO}{KO} = tg\;60^0\\ \\\frac{4\sqrt{3} }{KO}=\sqrt{3} \\ \\KO=4$(ед.)

Можем найти объем:

$\displaystyle V = \frac{1}{3}\cdot 12\sqrt{3}\cdot4=16\sqrt{3}$ (ед.³)

Объем пирамиды равен 16√3 ед.³

#SPJ1

Answer 2

Для розв'язання цієї задачі потрібно використати властивості рівнобедреного трикутника і піраміди.

Основою піраміди є рівнобедрений трикутник з основою 12 і кутом 120 градусів. Це означає, що висота піраміди є висотою цього рівнобедреного трикутника. Всі бічні ребра піраміди утворюють з висотою кут 60 градусів.

Об'єм піраміди обчислюється за формулою:

V = 1/3 * S * h

де: - V - об'єм піраміди, - S - площа основи, - h - висота піраміди .

Площа основи рівнобедреного трикутника з основою a і висотою h можна обчислити за формулою:

S = 1/2 * a * h

Після підстановки h = h (висота піраміди) в цю формулу, ми отримаємо площу основи рівнобедреного трикутника.

Тепер, коли ми знаємо площу основи і висоту піраміди, ми можемо підставити ці значення в формулу об'єму піраміди і обчислити об'єм.