Question

на сторонах AD и BC параллелограмма ABCD отмечены точки P и Q так, что AP=CQ. докажите, что прямая AC делит отрезок PQ пополам.

Answer 1

Ответ:

Пусть AC ∩ PQ = O

ABCD - параллелограмм ⇒ AB || CD, BC || AD

Рассмотрим ΔCOQ и ΔAOP:

∠QCO = ∠PAO, как накрест лежащие при пересечении AP || CQ секущей AC

AP = CQ, по условию

∠CQO = ∠APO, как накрест лежащие при пересечении AP || CQ секущей PQ

⇒ ΔCOQ = ΔAOP, по II признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам)

В равных треугольниках равны соответствующие стороны и углы.

⇒ PO = OQ, а значит точка O пересечения прямой AC и отрезка PQ делит отрезок PQ пополам

ч.т.д.

Answer 2

Для доказательства того, что прямая AC делит отрезок PQ пополам, можно воспользоваться свойствами параллелограмма и свойствами подобных треугольников.

1. Согласно условию, точки P и Q отмечены на сторонах AD и BC параллелограмма ABCD таким образом, что AP = CQ.

2. Поскольку AP = CQ, точки P и Q лежат на одной прямой, пересекающей стороны AD и BC параллелограмма.

3. Так как прямая AC является медианой параллелограмма ABCD, она делит его на две равные части.

4. Поскольку точки P и Q лежат на прямой, пересекающей стороны AD и BC, и прямая AC делит параллелограмм на две равные части, то отрезок PQ также будет поделен пополам прямой AC.

Таким образом, прямая AC делит отрезок PQ пополам.

Важно отметить, что это доказательство основано на свойствах параллелограмма и свойствах подобных треугольников. В частности, свойство параллелограмма, согласно которому его диагонали делят его на две равные части, и свойство подобных треугольников, согласно которому стороны подобных треугольников пропорциональны, позволяют сделать вывод, что отрезок PQ поделен пополам прямой AC , .