Question

Основою прямої призми є ромб зі стороною 8 см і кутом 60 градусів . Висота призми дорівнює 2 см. Знайдіть більшу діагональ призми.

Answer 1

Ответ:

14 см.

Объяснение:

Рассмотрим прямую призму $ABCDA_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$. ABCD - ромб.

Так  как ∠ А=60°, то Δ ABD- равносторонний(  в равнобедренном треугольнике с углом 60° все углы будут по 60°) Тогда диагональ ромба BD равна тоже 8 см.

Найдем большую диагональ ромба АС . Так как диагонали ромба пересекаются под прямым углом и точкой пересечения делятся пополам, то ΔАВР - прямоугольный с гипотенузой АВ=8 см и катетом ВР=4см. Найдем другой катет по теореме Пифагора: в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

$AB ^{2} =AP^{2} +BP^{2} ;\\AP^{2} =AB ^{2} -BP^{2};\\AP= \sqrt{AB ^{2} -BP^{2}} ;\\AP= \sqrt{8^{2} -4^{2} } =\sqrt{(8-4)(8+4)} =\sqrt{4\cdot12} =\sqrt{4\cdot4\cdot3} =4\sqrt{3}$

Тогда диагональ АС в два раза больше

$AC= 2\cdot 4\sqrt{3} =8\sqrt{3}$ см.

Рассмотрим треугольник $ACC_{1}$. Так как призма прямая, то этот треугольник прямоугольный.

Применим теорему Пифагора и найдем диагональ призмы $AC_{1}$

$AC_{1} ^{2} =AC^{2} +CC_{1} ^{2} ;\\AC_{1} = \sqrt{AC^{2} +CC_{1} ^{2} } ;\\AC_{1} = \sqrt{(8\sqrt{3} )^{2} +2^{2} } =\sqrt{64\cdot3+4} =\sqrt{192+4} =\sqrt{196} =14$

Тогда большая диагональ призмы равна 14 см.

Answer 2

Для знаходження більшої діагоналі призми, спочатку потрібно знайти довжину меньшої діагоналі.

За теоремою Піфагора в прямокутному трикутнику, довжина діагоналі може бути знайдена за формулою: d^2 = a^2 + b^2, де d - діагональ, a і b - катети.

В нашому випадку, a = 8 см (сторона ромбу) і b = 4 см (половина висоти призми). Підставляємо значення в формулу: d^2 = 8^2 + 4^2, d^2 = 64 + 16, d^2 = 80.

Щоб знайти діагональ, потрібно взяти квадратний корінь з обох сторін: d = √80.

Таким чином, меньша діагональ призми дорівнює √80 см.

Оскільки призма є ромбом, то більша діагональ дорівнює подвоєній довжині меньшої діагоналі: більша діагональ = 2 * √80.

Значення можна спростити, взявши квадратний корінь з 80: √80 = √(16 * 5) = 4√5.

Тоді, більша діагональ = 2 * 4√5 = 8√5 см.

Отже, більша діагональ призми дорівнює 8√5 см.