Question

Окружности ωb и ωc лежат вне треугольника ABC, касаются внутренним образом описанной около треугольника ABC окружности в точках B1 и C1 соответственно и сторон AC и AB в точках B2 и C2 соответственно. Прямые B1B2 и C1C2 повторно пересекают описанную окружность треугольника в точках B3 и C3 соответственно, причём точки расположены, как показано на картинке. Найдите угол между прямыми CB3 и BC3, если ∠BAC=72∘.

Answer 1

Докажем лемму Архимеда.

Точка касания B1 лежит на линии центров OO1.

B1O1B2 и B1OB3 - равнобедренные, ∠B1=∠B2=∠B3

O1B2||OB3 (соответственные углы равны)

O1B2⊥AC (радиус перпендикулярен касательной) => OB3⊥AC

Диаметр через B3 перпендикулярен хорде AC, следовательно делит дуги AC и AC' пополам.

B3 - середина дуги AC => диаметр через B3 перпендикулярен хорде AC, ∠M=90.

Аналогично ∠N=90

∪B3C3 =∠B3OC3 =∠MON =180-∠A (из четырехугольника AMON)

∪BC =2∠A

∠X =(∪BB3+∪CC3)/2 =(∪BC-∪B3C3)/2 =3/2 ∠A -90 =18° (угол между хордами)

Если прямые CB3 и BC3 пересекаются вне окружности - угол X между секущими.

∠X =(∪CC3-∪BB3)/2 =(∪BC-∪B3C3)/2 =3/2 ∠A -90 =18°

Answer 2

Для решения данной задачи воспользуемся свойствами касательных и хорд, проведенных из точек касания.

По условию, окружности ωb и ωc касаются внутренним образом описанной около треугольника ABC окружности в точках B1 и C1 соответственно. Также, стороны AC и AB касаются окружностей в точках B2 и C2 соответственно.

Из свойств касательных к окружности, имеем, что угол между касательной и хордой, проведенной из точки касания, равен половине угла, опирающегося на эту хорду. Из этого следует, что ∠BB1B2 = ∠BAC/2 и ∠CC1C2 = ∠BAC/2.

Прямые B1B2 и C1C2 повторно пересекают описанную окружность треугольника в точках B3 и C3 соответственно. Таким образом, угол между прямыми CB3 и BC3 равен углу, образованному дугой B3C3 описанной окружности треугольника.

Для нахождения этого угла, воспользуемся свойством хорд, проведенных из точек пересечения прямых с окружностью. Имеем, что угол, образованный дугой описанной окружности, равен половине разности углов, опирающихся на эту дугу.

Таким образом, угол между прямыми CB3 и BC3 равен (∠BB3C3 - ∠BC3C3)/2.

Из свойства хорд, имеем, что угол, опирающийся на дугу описанной окружности, равен углу, образованному этой дугой в центре окружности. Таким образом, ∠BB3C3 = 2∠BAC/2 = ∠BAC и ∠BC3C3 = 2∠BAC/2 = ∠BAC.

Подставляя значения, получаем, что угол между прямыми CB3 и BC3 равен (∠BAC - ∠BAC)/2 = 0/2 = 0.

Таким образом, угол между прямыми CB3 и BC3 равен 0 градусов.