Question

1)треугольник вписан в окружность с радиусом 10 дм . Найдите стороны этого треугольника , лежащие напротив углов в 60  градусов и 45 градусов . 2) Найдите неизвестные стороны и углы треугольника если две стороны и угол между ними равны 3;7 и 88 градусам 3) в параллелограмме одна из сторон равна 20 м а диагонали равны 32 м и 40 м . Найдите неизвестную сторону параллелограмма и косинус угла между диагоналями . ПОМОГИТЕ ПОЖАЛУЙСТА

Answer 1

1. По теореме синусов:
a : sin 60° = b : sin 45° = 2R

a = 2R · sin 60° = 2 · 10 · √3/2 = 10√3 дм
b = 2R · sin 45° = 2 · 10 · √2/2 = 10√2 дм

2. По теореме косинусов:
b² = a² + c² - 2ac·cos B
b² ≈ 49 + 9 - 2 · 7 · 3 · 0,0349 ≈ 58 - 1,4658 ≈ 56,5342
b ≈ 7,5

По теореме синусов:
с : sin C = b : sin B
sin C ≈ 3 ·sin 88° / 7,5 ≈ 3 · 0,9994 / 7,5 ≈ 0,3998
∠C ≈ 24°

∠A = 180° - (∠B + ∠C) ≈ 180° - 88° - 24° ≈ 68°

3. В параллелограмме сумма квадратов диагоналей равна сумме квадратов всех его сторон:
AC² + BD² = 2(AB² + AD²)
AC = 40 м, BD = 32 м,
1600 + 1024 = 2(400 + AD²)
2624 = 2(400 + AD²)
AD² = 1312 - 400 = 912
AD ≈ 30,2 м

Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам. По теореме косинусов из треугольника АОВ:
cosα = (ОА² + OB² - AB²) / (2·OA·OB)
cosα = (400 + 256 - 400) / (2 · 20 · 16) = 256 / 640 = 0,4

Answer 2

Конечно, давайте рассмотрим каждый вопрос по очереди.

1) Треугольник вписан в окружность с радиусом 10 дм. Найдите стороны этого треугольника, лежащие напротив углов в 60 градусов и 45 градусов.

Когда треугольник вписан в окружность, его стороны являются хордами окружности. Для нахождения сторон можно воспользоваться формулой:

\[ \text{Длина хорды} = 2 \times \text{радиус} \times \sin(\text{половина угла}) \]

Для угла в 60 градусов:

\[ \text{Сторона} = 2 \times 10 \, \text{дм} \times \sin(30^\circ) = 20 \, \text{дм} \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 10\sqrt{3} \, \text{дм} \]

Для угла в 45 градусов:

\[ \text{Сторона} = 2 \times 10 \, \text{дм} \times \sin(22.5^\circ) \approx 2 \times 10 \, \text{дм} \times 0.3827 \approx 7.65 \, \text{дм} \]

2) Найдите неизвестные стороны и углы треугольника, если две стороны и угол между ними равны 3, 7 и 88 градусам.

Для нахождения третьей стороны треугольника можно воспользоваться законом косинусов:

\[ c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos(C) \]

где \(a\), \(b\) и \(c\) - стороны треугольника, \(C\) - угол между сторонами \(a\) и \(b\).

В данном случае, \(a = 3\), \(b = 7\) и \(C = 88^\circ\). Подставляем значения и решаем уравнение для \(c\).

\[ c^2 = 3^2 + 7^2 - 2 \times 3 \times 7 \times \cos(88^\circ) \] \[ c^2 = 9 + 49 - 42 \cos(88^\circ) \] \[ c^2 \approx 55.39 \] \[ c \approx \sqrt{55.39} \approx 7.45 \]

Теперь мы знаем третью сторону. Для нахождения углов треугольника можно воспользоваться законом синусов или косинусов, исходя из известных данных.

3) В параллелограмме одна из сторон равна 20 м, а диагонали равны 32 м и 40 м. Найдите неизвестную сторону параллелограмма и косинус угла между диагоналями.

Диагонали параллелограмма делят его на четыре треугольника. Пусть одна диагональ равна 32 м (длина \(d_1\)), а другая 40 м (длина \(d_2\)). Пусть известная сторона параллелограмма равна 20 м. Обозначим неизвестную сторону как \(x\).

Используем теорему Пифагора для каждого из треугольников, образованных диагоналями:

1. Для треугольника с диагоналями \(d_1\) и \(x\):

\[ x^2 = d_1^2 - 20^2 = 32^2 - 20^2 = 900 \] \[ x = \sqrt{900} = 30 \, \text{м} \]

2. Для треугольника с диагоналями \(d_2\) и \(x\):

\[ x^2 = d_2^2 - 20^2 = 40^2 - 20^2 = 1200 \] \[ x = \sqrt{1200} = 20\sqrt{3} \, \text{м} \]

Теперь найдем косинус угла между диагоналями, используя закон косинусов для треугольника с диагоналями \(d_1\) и \(d_2\):

\[ \cos(\theta) = \frac{d_1^2 + d_2^2 - x^2}{2d_1d_2} \] \[ \cos(\theta) = \frac{32^2 + 40^2 - (20\sqrt{3})^2}{2 \times 32 \times 40} \] \[ \cos(\theta) = \frac{1024 + 1600 - 1200}{2560} \] \[ \cos(\theta) = \frac{424}{2560} \] \[ \cos(\theta) \approx 0.1656 \]

Угол между диагоналями будет \(\theta \approx \cos^{-1}(0.1656) \approx 80.7^\circ\).