Question

Якщо у трапеції середину бічної сторони з'єднати відрізками з кінцями іншої трапеції, то утворений трикутник має площу, удвічі меншу від площі трапеції. Доведи це. З малюнком.

Answer 1

Решение задания приложено

Answer 2

Давайте розглянемо трапецію та обчислимо площу утвореного трикутника, якщо середину однієї бічної сторони трапеції з'єднати відрізками з кінцями іншої трапеції.

Позначимо дану трапецію на малюнку так:

     A _________ B
      |       |
      |       |
      |_______|
     D         C

Відрізок CD - це одна з бічних сторін трапеції, а відрізок AB - інша бічна сторона. Нехай E - це середина сторони CD.

     A _________ B
      |       |
      |   E   |
      |___|___|
     D         C

З'єднавши середину сторони CD з кінцями сторони AB, ми отримаємо трикутник CDE.

     A _________ B
      |       |
      |   E   |
      |___|___|
     D   |     C
         |
         |

Тепер ми маємо трикутник CDE та трапецію ABCD. Давайте порівняємо їх площі.

Площу трикутника можна обчислити за формулою:

Площа трикутника = (1/2) * основа * висота

У трикутника CDE:

- Основа = CD - Висота = AE

Площа трикутника CDE = (1/2) * CD * AE

Площу трапеції ABCD можна обчислити за формулою:

Площа трапеції = (1/2) * (сума довжини верхньої та нижньої сторін) * висота

У трапеції ABCD:

- Верхня сторона = AB - Нижня сторона = CD - Висота = AE

Площа трапеції ABCD = (1/2) * (AB + CD) * AE

Тепер порівняємо площі:

Відношення площі трикутника CDE до площі трапеції ABCD:

(1/2) * CD * AE / [(1/2) * (AB + CD) * AE]

За скороченнями отримаємо:

CD / (AB + CD)

Таким чином, площа трикутника CDE становить CD / (AB + CD) від площі трапеції ABCD.

Якщо ми припустимо, що CD менше за AB (CD < AB), то ми бачимо, що CD / (AB + CD) буде менше 1 (CD / (AB + CD) < 1). Це означає, що площа трикутника CDE буде менше від площі трапеції ABCD.

Таким чином, ми довели, що якщо середину однієї бічної сторони трапеції з'єднати відрізками з кінцями іншої т