Question

В пирамиде ABCD рёбра DA, DB и DC попарно перпендикулярны, AB = BC = AC = 10. а) Докажите, что эта пирамида правильная. б) На рёбрах DA и DC отмечены точки M и N соответственно, причём DM:MA = DN:NC = 3:2. Найдите площадь сечения MNB.

Answer 1

А) Проведём высоту DO и прямую AO. Пирамида будет правильной, если O — центр треугольника ABC.

AD по условию перпендикулярна DB и DC, значит, перепендикулярна плоскости (DBC), а значит, и прямой BC, лежащей в этой плоскости.
DO по построению перпендикулярно плоскости (ABC), значит, и прямой BC, лежащей в этой плоскости.

BC перпендикулярна AD и DO, поэтому перпендикулярна плоскости (ADO) и прямой AO ∈ (ADO). Значит, на прямой AO лежит высота треугольника ABC. Аналогично, и на BO лежит высота треугольника ABC. Так как высоты правильного треугольника пересекаются в центре, то O — центр треугольника, а пирамида — правильная.

б) Пирамида правильная, значит, все боковые стороны равны, боковые грани —равнобедренные прямоугольные треугольники.
DA = DB = DC = AC * sin(45°) = 5√2.

Рассмотрим треугольники ADC и MDN. Они подобные (угол D общий, MD : AD = ND : CD = 3 : 5) с коэффициентом подобия 3/5, тогда MN = 3/5 * AC = 6.

Рассмотрим треугольник DMB. Он прямоугольный с прямым углом D, DM = 3/5 AD = 3√2, DB = 5√2. По теореме Пифагора MB = √(DM^2 + DB^2) = √2 * √(3^2 + 5^2) = 2√17. Аналогично, BN = 2√17.

Треугольник BMN — равнобедренный с основанием MN = 6 и боковыми рёбрами MB = BN = 2√17. Проведём в нём высоту BX. BX — также медиана, значит, XN = MN/2 = 3. 

По теореме Пифагора для треугольника BXN
BX = √(BN^2 - XN^2) = √(68 - 9) = √59

Тогда площадь треугольника BMN = 1/2 * BX * MN = 3√59. 

Answer 2

Я могу помочь вам с вашим вопросом по геометрии.

а) Пирамида ABCD правильная, если все ее ребра равны. Для этого достаточно показать, что ребра DA, DB и DC равны. Поскольку они попарно перпендикулярны, то по теореме Пифагора имеем:

$$DA^2 = AB^2 + AD^2 = 10^2 + 10^2 = 200$$ $$DB^2 = AB^2 + BD^2 = 10^2 + 10^2 = 200$$ $$DC^2 = AC^2 + CD^2 = 10^2 + 10^2 = 200$$

Следовательно, $DA = DB = DC = \sqrt{200}$. Значит, пирамида ABCD правильная.

б) Чтобы найти площадь сечения MNB, нужно знать его высоту и основание. Высота сечения равна высоте пирамиды, которая равна длине любого из перпендикулярных ребер, то есть $\sqrt{200}$. Основание сечения - это отрезок MN, который лежит на плоскости, параллельной основанию пирамиды. Для нахождения длины MN воспользуемся свойством подобия треугольников:

$$\frac{MN}{AB} = \frac{DM}{DA} = \frac{3}{5}$$

Отсюда $MN = \frac{3}{5} \cdot AB = \frac{3}{5} \cdot 10 = 6$. Тогда площадь сечения MNB равна:

$$S_{MNB} = \frac{1}{2} \cdot MN \cdot h = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot \sqrt{200} = 3 \sqrt{50}$$

Надеюсь, это было полезно. Если у вас есть еще вопросы, я готов ответить на них.