Question

Расстояние от точки A до плоскости правильного шестиугольника равна 3 см.Знайты расстояние от точки A до вершины шестиугольника, если его сторона равна 4 см

Answer 1

Расстояние от точки P до плоскости правильного шестиугольника со стороной 8 см равно 8 см. Найдите расстояние от точки P до сторон шестиугольника, если она равноудалена от каждой из них.

РЕШЕНИЕ:

• Если точка Р равноудалена от сторон правильного шестиугольника, то она проецируется в центр шестиугольника, то есть в точку пересечения его бо'льших диагоналей, в точку О.

• Опустим из точки О перпендикуляр ОТ к СD. РО перпендикулярен ОТ, ОТ перпендикулярен CD, следовательно по теореме о трёх перпендикулярах РТ перпендикулярен CD, то есть PT - искомое расстояние.

• Бо'льшие диагонали правильного шестиугольника делят его на шесть правильных, то есть равносторонних треугольников.

• В тр. COD: OT = CDV3 / 2 = 8V3 / 2 = 4V3 см

В тр. РТО : по т. Пифагора РТ = V( ( 4V3 )^2 + 8^2 ) = V( 48 + 64 ) = V112 = 4V7 см.

ОТВЕТ: 4V7.

Answer 2

Для решения данной задачи воспользуемся формулой расстояния от точки до плоскости.

Расстояние от точки A до плоскости равно модулю проекции вектора, соединяющего точку A и любую точку плоскости, на нормаль к плоскости.

В данной задаче плоскость - это плоскость правильного шестиугольника. Нормаль к этой плоскости будет перпендикулярна ей и проходить через центр шестиугольника.

Расстояние от точки A до плоскости равно 3 см, поэтому проекция вектора, соединяющего точку A и центр шестиугольника, на нормаль к плоскости равна 3 см.

Так как шестиугольник правильный, его центр совпадает с центром окружности, описанной вокруг него. Радиус этой окружности будет равен половине длины стороны шестиугольника.

Длина стороны шестиугольника равна 4 см, поэтому радиус окружности будет равен 2 см.

Таким образом, проекция вектора, соединяющего точку A и центр шестиугольника, на нормаль к плоскости равна 3 см, а длина этого вектора (расстояние от точки A до центра шестиугольника) равна 2 см.

Используя теорему Пифагора, найдем расстояние от точки A до вершины шестиугольника:

(расстояние от точки A до вершины шестиугольника)^2 = (расстояние от точки A до центра шестиугольника)^2 + (длина стороны шестиугольника)^2

(расстояние от точки A до вершины шестиугольника)^2 = 2^2 + 4^2

(расстояние от точки A до вершины шестиугольника)^2 = 4 + 16

(расстояние от точки A до вершины шестиугольника)^2 = 20

расстояние от точки A до вершины шестиугольника = √20

расстояние от точки A до вершины шестиугольника ≈ 4.47 см