Question

Разность двух натуральных чисел равна 23, а произведение на 1153 меньше суммы их квадратов. Найдите эти числа. В ответ внесите наибольшее из этих двух чисел.

Answer 1

Ответ: 39

Решение см. на фото.

Эти числа: 16 и 39.

Answer 2

Ответ: 39

Искомые числа 16 и 39.

В графу ответа нужно внести 39

Объяснение:

Обозначим, бОльшее число х, меньшее у.

Отметим отдельно, что х, у - натуральные числа, т.е.

$x \in \N; \: y \in \N$

Тогда фразу "разность чисел равна 23" можно представить в виде:

х - у = 23

А фразу "произведение на 1153 меньше суммы их квадратов". так:

х•у = х² + у² - 1153

Получаем систему уравнений:

$\begin{cases} x - y = 23 \small{ \: < = > y= x - 23 } \\ xy = {x}^{2} + {y}^{2} - 1153\end{cases}$

Произведем замену у на х - 23 во втором уравнении системы

$\begin{cases} y = x - 23 \\ x(x - 23)= {x}^{2} + {( x - 23)}^{2} - 1153\end{cases}$

Решим второе уравнение из системы:

$x^{2} - 23x= {x}^{2} + x^{2} - 2 \cdot23x + 23^{2} - 1153 \\ x^{2} - 23x= 2 {x}^{2} - 46x + 529 - 1153 \\ x^{2} - 23x - 2 {x}^{2} + 46x + 624 = 0 \\ {x}^{2} - 23x - 624 = 0$

Воспользуемся Т. Виета:

$\begin{cases}x_1+x_2=23 \\ x_1 x_2 = -624 \end{cases}$

Число 624 можно представить как произведение чисел 16 и 39

(И что примечательно, разность 39 и 16 равна 23)

624 = 39 • 16

Тогда, если взять за х1 = 39, х2= -16

-624 = 39 • (-16)

$\begin{cases}x_1+x_2= 39 - 16 \\ x_1 x_2 = 39 \cdot ( - 16) \end{cases} \\ \begin{cases}x_1=39 \\ x_2 = -16 \end{cases}$

Так как по условию х, у - натуральные,

то х2 = -16 не подхожит по условию Остается один корень: х = 39.

Подставляем значение х в начальную систему уравнений:

$\begin{cases} y= x - 23 \\ x=39\end{cases} < = > \begin{cases} y= 39 - 23 = 16 \\ x=39\end{cases}$

И получим ответ:

$\begin{cases} x = 39 \\ y = 16\end{cases}$

Answer 3

Давайте обозначим два натуральных числа через \(x\) и \(y\). У нас есть два условия:

1. Разность двух натуральных чисел равна 23: \(x - y = 23\). 2. Произведение на 1153 меньше суммы их квадратов: \(xy = x^2 + y^2 - 1153\).

Давайте решим систему уравнений.

Из уравнения \(x - y = 23\) мы можем выразить одно из чисел через другое. Давайте представим \(y\) через \(x\): \(y = x - 23\).

Теперь мы можем подставить это выражение для \(y\) во второе уравнение:

\[x \cdot (x - 23) = x^2 + (x - 23)^2 - 1153\]

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

\[x^2 - 23x = x^2 + x^2 - 46x + 529 - 1153\] \[0 = 2x^2 - 69x - 624\] \[2x^2 - 69x - 624 = 0\]

Теперь мы можем решить это квадратное уравнение. Мы знаем, что дискриминант \(D\) выражается как \(D = b^2 - 4ac\), где у нас есть уравнение вида \(ax^2 + bx + c = 0\).

Здесь \(a = 2\), \(b = -69\), и \(c = -624\). Подставим значения в формулу дискриминанта:

\[D = (-69)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-624)\] \[D = 4761 + 4992\] \[D = 9753\]

Так как дискриминант больше нуля, у нас есть два корня. Используем формулу корней квадратного уравнения \(x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\):

\[x = \frac{69 + \sqrt{9753}}{4}\] \[x \approx \frac{69 + 98.75}{4}\] \[x_1 \approx \frac{167.75}{4}\] \[x_1 \approx 41.9375\]

\[x = \frac{69 - \sqrt{9753}}{4}\] \[x \approx \frac{69 - 98.75}{4}\] \[x_2 \approx \frac{-29.75}{4}\] \[x_2 \approx -7.4375\]

Учитывая, что \(x\) и \(y\) являются натуральными числами, то \(x = 41\) (ближайшее целое число к 41.9375), а \(y = x - 23 = 41 - 23 = 18\).

Таким образом, наибольшее из двух чисел равно \(41\).