Question

Тема: перпендикулярность плоскостей. 1) Докажите, что пересекающиеся грани прямоугольного параллелепипеда перпендикулярны. 2) Докажите, что плоскости диагональных сечений AB1 C1 D и BA1 D1 C куба A…D1 перпендикулярны.

Answer 1

1) Докажите, что пересекающиеся грани прямоугольного параллелепипеда перпендикулярны. 2) Докажите, что плоскости диагональных сечений AB1 C1 D и BA1 D1 C куба A…D1 перпендикулярны.

Объяснение:

1)Две плоскости называются взаимно перпендикулярными, если они образуют прямые двугранные углы. Выберем для определенности плоскости   ( А₁В₁С₁) и (ВВ₁С).

В₁С₁ -линия пересечения плоскостей ( А₁В₁С₁) и (ВВ₁С).

Д₁С₁ ⊥  В₁С₁  и СС₁⊥ В₁С₁ , т.к. все грани прямоугольного параллелепипеда -прямоугольники⇒ ( А₁В₁С₁) ⊥ (ВВ₁С).

2)Все грани куба-квадраты. Диагонали квадрата  взаимно -перпендикулярны . МР ,линия пересечения граней  (AB₁C₁D) и (BA₁D₁С) . Значит линейный угол данного двугранного ∠АМВ=90° ⇒данные плоскости перпендикулярны.

Answer 2

1) Для доказательства, что пересекающиеся грани прямоугольного параллелепипеда перпендикулярны, мы можем использовать свойство прямоугольного параллелепипеда, а именно то, что его грани (плоские поверхности) параллельны соответствующим граням. Давайте представим прямоугольный параллелепипед с гранями ABCDEFGH, где AB и CD - это верхняя и нижняя грани соответственно, а AD и BC - это боковые грани. Предположим, что грань ABCD пересекает грань EFGH. Для начала, заметим, что AD и BC параллельны и имеют одинаковую ориентацию (например, вертикальную). Теперь давайте рассмотрим грань ABCD и грань EFGH. Поскольку AD и BC параллельны, а грани ABCD и EFGH пересекаются, значит, они имеют общую точку (например, точку P). Для того чтобы доказать перпендикулярность граней, мы можем показать, что векторы, нормальные к этим граням, перпендикулярны друг другу. Пусть N1 - это нормаль к грани ABCD, а N2 - это нормаль к грани EFGH. Если грани ABCD и EFGH пересекаются, то точка P лежит на обеих гранях. Это означает, что векторы NP и NP2 лежат в плоскостях ABCD и EFGH соответственно и, следовательно, перпендикулярны этим плоскостям. Теперь, если NP и NP2 перпендикулярны грани ABCD и EFGH, соответственно, и AD и BC параллельны и имеют общую точку P, то векторы NP и NP2 должны быть параллельны. Но если два вектора параллельны и перпендикулярны друг другу, то они обязаны быть коллинеарными, что означает, что грани ABCD и EFGH перпендикулярны. 2) Чтобы доказать, что плоскости диагональных сечений AB1C1D и BA1D1C куба A…D1 перпендикулярны, давайте воспользуемся аналогичным методом. Пусть куб A...D1 имеет вершины A, B, C, D, A1, B1, C1 и D1, а грани AB1C1D и BA1D1C - это диагональные сечения куба. Для начала, мы знаем, что куб имеет все стороны равными и все углы прямыми. Теперь рассмотрим грани AB1C1D и BA1D1C. Они пересекаются по диагонали куба, которая соединяет вершину A с вершиной D1. Подобно первому случаю, мы можем взять два вектора, нормальных к этим плоскостям (например, векторы N1 и N2 для плоскости AB1C1D и BA1D1C соответственно). Теперь рассмотрим точку P, которая является конечной точкой диагонали, соединяющей вершины A и D1. Так как P лежит на обеих плоскостях, то векторы NP и NP2 будут лежать в плоскостях AB1C1D и BA1D1C соответственно и, следовательно, будут перпендикулярны этим плоскостям. Таким образом, мы показали, что векторы NP и NP2 перпендикулярны грани AB1C1D и BA1D1C, что подтверждает перпендикулярность плоскостей диагональных сечений куба.