Question

Радиус описанной окружности около равностороннего треугольника равен 6. Найдите площадь треугольника.

Answer 1

Радиус описанной окружности: R=a/√3

a=R√3=6√3

2) Площадь треугольника: S=a²√3/4

S=(6√3)²×√3/4 = 27√3 (ед²)

Answer 2

Для решения этой задачи мы можем воспользоваться свойствами равносторонних треугольников и окружностей, описанных вокруг них. 1. **Свойство равностороннего треугольника:** В равностороннем треугольнике все стороны равны между собой. Пусть длина каждой стороны треугольника равна \(a\). 2. **Свойство окружности, описанной вокруг треугольника:** Радиус окружности, описанной вокруг треугольника, равен трети высоты треугольника. Таким образом, в данной задаче радиус описанной окружности равен \(6\). Теперь мы можем воспользоваться формулой для вычисления площади равностороннего треугольника: \[ \text{Площадь треугольника} = \frac{\sqrt{3}}{4} \times a^2 \] Мы знаем, что радиус описанной окружности равен 6. Также из свойства окружности, радиус третья часть высоты равностороннего треугольника. Таким образом, высота треугольника равна \(3 \times 6 = 18\). Теперь мы можем воспользоваться формулой для вычисления площади треугольника: \[ \text{Площадь треугольника} = \frac{\sqrt{3}}{4} \times a^2 \] Мы знаем, что высота треугольника \(h = 18\), и можем выразить сторону треугольника через эту высоту, используя теорему Пифагора: \[ a^2 = 2h^2 = 2 \times 18^2 = 648 \] Теперь подставим это значение \(a^2\) в формулу для площади треугольника: \[ \text{Площадь треугольника} = \frac{\sqrt{3}}{4} \times 648 = 108\sqrt{3} \, \text{квадратных единиц} \] Таким образом, площадь равностороннего треугольника равна \(108\sqrt{3}\) квадратных единиц.