Question

Прямая, параллельная стороне АВ треугольника АВС, пересекает стороны АС и ВС в точках М и N соотетствснно. Найдите АМ :СМ, если площадь треугольника МСN вдвое больше площади трапеции АMNB

Answer 1

Ответ:

Можна задания фоткой?

Answer 2

Пусть АМ / СМ = х. Так как прямая, параллельная стороне АВ, пересекает стороны АС и ВС в точках М и N соответственно, то по теореме Талеса МН || АВ. Также известно, что площадь треугольника МСN вдвое больше площади трапеции АMNB. Рассмотрим первый случай: AM > СМ. Пусть СМ = а, АМ = а*х, ВС = b. Так как МН || АВ, то по теореме Талеса получаем: СN / BN = а / b. Также известно, что площадь треугольника МСN вдвое больше площади трапеции АMNB: (1/2) * а * CN = а * (a*х + b) => CN = 2*(a*х + b). Так как CN / BN = а / b, то: 2*(a*х + b) / BN = а / b => BN = 2*(a / b)*(a*х + b). Так как BN + CN = b, то: 2*(a / b)*(a*х + b) + 2*(a*х + b) = b => 2*(a / b + 1)*(a*х + b) = b => (a / b + 1)*(a*х + b) = b / 2 => (a / b + 1)*a*х + (a / b + 1)*b = b / 2 => a*х + a*(a / b)*х + a*х + b = (b / 2) / ((a / b + 1) * a) a*х + a^2*х* b^(-1) + a*х + b = (b / 2) / ((a / b + 1) * a) 2*a*x + a^2*x*(b^(-1)) + b - (b / 2) / ((a / b + 1) * a) = 0 2*a*x + a^2*x*(b^(-1)) + b - b / (2 * (a + b)) = 0 2*a*x + a^2*x*(b^(-1)) + 2b*(a + b)^(-1) - b*(2*a + b)^(-1) = 0 Рассмотрим второй случай: СМ > AM. Этот случай аналогичен первому, только переменные а и b меняются местами. То есть, пусть AM = а, СМ = а*х, ВС = b. Таким образом, уравнение будет выглядеть: 2*a*x + a*b^(-1)*x^2 + 2a*(a + b)^(-1) - a*(2*b + a)^(-1) = 0. Таким образом, для нахождения АМ : CM следует решить одно из указанных уравнений для переменной x.