Question

Основанием пирамиды служит прямоугольник, одна боковая грань перпендикулярна плоскости основания, а три другие боковые грани наклонены к плоскости под углом 45 градусов. Высота пирамиды равна 9. Найдите объём пирамиды

Answer 1

Высота Н вертикальной боковой грани является и высотой пирамиды.

Так как угол наклона грани 45 градусов, то ширина прямоугольника равна высоте пирамиды и равна 9 ед.

Так как вертикальная боковая грань - это равнобедренный треугольник, то его основание (это длина прямоугольника основания) равна 2*9 = 18 ед.

Площадь основания So = 9*18 = 162 кв.ед.

Ответ: объём пирамиды равен V = (1/3)SoH = (1/3)*162*9 =486 куб.ед.

Answer 2

Для нахождения объема пирамиды можно использовать следующую формулу: V = (1/3) * S * h, где S - площадь основания пирамиды, h - высота пирамиды. Поскольку основанием пирамиды является прямоугольник, то площадь основания можно найти, умножив длину одной стороны основания на длину второй стороны: S = a * b. У нас есть информация о том, что одна боковая грань пирамиды перпендикулярна плоскости основания, а три другие боковые грани наклонены к плоскости под углом 45 градусов. Таким образом, пирамида представляет собой тетраэдр, в котором одна из граней - прямоугольник, а остальные три грани - равносторонние треугольники. Чтобы найти длины сторон прямоугольника, можно разделить длину а посредине и получить длины сторон треугольника: a1 = a / 2 и a2 = a / 2. Поскольку треугольники равносторонние, то все стороны равны. Для нахождения стороны треугольника можно воспользоваться теоремой Пифагора: a^2 = a1^2 + h^2, где h - высота пирамиды. Таким образом, получаем систему уравнений: S = a * b a^2 = a1^2 + h^2 Подставим значения из задания: h = 9 и угол наклона боковых граней равен 45 градусам. Таким образом, получаем a1 = a2 = (a * √2) / 2. Подставим эти значения в первое уравнение: S = (a * √2) / 2 * (a * √2) / 2 = a^2 * 2 / 4 = a^2 / 2. Теперь, подставив полученные значения во второе уравнение: a^2 = (a^2 / 2)^2 + 9^2 = a^4 / 4 + 81. Решим это уравнение: a^4 / 4 + 81 = a^2 a^4 - 4a^2 + 324 = 0 Решив это квадратное уравнение, получим два возможных значения a: a = 6 или a = -6. Отрицательное значение длины стороны не имеет физического смысла, поэтому выбираем a = 6. Теперь, чтобы найти площадь основания, подставим значение a в первое уравнение: S = a^2 / 2 = 6^2 / 2 = 18. Наконец, подставим полученные значения в формулу для нахождения объема пирамиды: V = (1/3) * S * h = (1/3) * 18 * 9 = 6 * 9 = 54. Таким образом, объем пирамиды равен 54 единицам объема.